复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率

前言

我们都知道算法和数据结构本身解决的就是"快"和"省"的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。执行效率是算法一个非常重要的考量指标，而判断执行效率的两个重要指标就是：时间、空间复杂度。我个人认为，复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

为什么需要复杂度分析？

我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？首先，我可以肯定地说，你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。

测试结果非常依赖测试环境
测试结果受数据规模的影响很大

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要学习的时间、空间复杂度分析方法。

时间复杂度—大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？

这里有段非常简单的代码，求 1,2,3...n 的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。

    let sum = 0 
    for(let i =0; i<=n ; i++){
        sum += i
    }
T(n)=((2n+1)) * unit time  ==> T(n) = O(2n +1)

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据,我们假定每一行代码的执行时间都为unit time，第1行代码需要1个unit time，第2、3行都运行n遍，所以需要2n * unit time的执行时间，总执行时间为 (2n+1) * unit time的执行时间，可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

 let sum = 0     // 1个unit time
 for(let i=0 ; i<= n ； i++){  // n个unit time
     
     for(let j=0 ; j<=n; i++){  // n*n 个unit time
         sum = sum + i*j  // n*n 个unit time
      }
  }
  T(n) = (2n*n + n + 1) * unit time  ==> T(n) = O(2n*n + n +1)

通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。

T(n) = O(f(n))

T(n)表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n*n)。

时间复杂度分析

分析时间复杂度的三个实用的方法：

只关注循环执行次数最多的一段代码
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
- 如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n)),那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
- T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n) = T1(n)*T2(n) = T(f(n)*g(n))

几种常见的复杂度量级

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)

let i = 1
let j = 1
let sum = i+j
// T(n) = O(1)

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度.

let i =1
 while( i <= n){
     i = i * 2
 }

从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。 对数之间是可以互相转换的,在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n)),，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

 function(m,n){
     let sum_1 = 0
     let sum_2 = 0
     for(let i = 0 ; i <= m, i++){
         sum_1 = sum_1 + i;
     }
     for(let j = 0 ; j <= n, j++){
         sum_2 = sum_2 + j;
     }
   return sum1 + sum2
 }

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

加法规则：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。
乘法法则：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))

空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

 let arr = new Array(n)
 for(let i = 0 ; i <= n ; ++i){
     arr[i] = i * i
 }
 
 for (let i = n-1 ; i>=0 ; --i){
     console.log(arr[i])
 }

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到第2行申请了一个大小为 n 的数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

内容小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

复杂度分析（下）：# 浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

前言

除了简单的时间、空间复杂度之外，还有集中具体的时间复杂度分析：最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）

最好、最坏事件复杂度分析

 function(arr,n,x){
 
     let pos = -1 
     for(let i = 0 ; i <= n ; i++){
     
         if( arr[i]==x) pos = i
     }
     return pos
 }

分析可得时间复杂度T(n) = O(n)

===================================

复杂度分析