前言

从这篇文章开始将会进入红黑树的范畴，而在学习红黑树之前必须先学会B-树，只要掌握了B-树那么红黑树也是手到擒来。

什么是B-树

B-树是一种平衡的多路搜索树，这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实现上。

如下面两棵树都是B-树，分别是三阶B树（也叫2-3树）和四阶B树（也叫2-3-4树）：

three_level_b_tree four_level_b_tree

观察这两棵树可以发现一些特点：

在大概了解了B-树后，接下来学习一下B-树的性质。

假设一个节点存储的元素个数为 x

根节点：1 ≤ x ≤ m - 1

非根节点：⌈ m / 2 ⌉ - 1 ≤ x ≤ m - 1（⌈ m / 2 ⌉ 表示结果向上取整，⌊ m / 2 ⌋ 表示结果向下取整）

如果有子节点，子节点个数：y = x + 1

观察以下的B-树和二叉搜索树：

four_level_b_tree_compare_bst bst_compare_four_level_b_tree

可以发现它们还是可以有共同点的，例如将二叉搜索树的 8 与父节点 4 合并，12 与父节点 10 合并，13 、15 与父节点 14 合并，那么可以得到这样的一棵树：

bst_to_b_tree

可以发现，合并后的二叉搜索树完美对应上面的B-树，那么肯定存在某种规则能够使二叉搜索树转换为B-树。

向B-树添加一个元素，必然是添加到叶子节点中。

在二叉搜索树中我们是进行大小比对的二分查找，除去元素相等的情况，一定是找到度为零或者度为一的节点才停下来，那么这个节点就是新节点的父节点。

而对于B-树，它的叶子节点一定都是在同一层，且每个节点存储的元素个数最少 ≥ 2（m阶B-树，m ≥ 3），例如有这样一棵4阶B-树：

four_level_b_tree_compare_bst

往里添加一个 16 ，过程是这样的：首先与【4，8】对比，发现更大，往右子节点找，与【10，12】对比，发现还是大，接着往右子节点找，与【13，14，15】对比，发现还是大，但这时已经没有子节点了，说明当前这个节点就是叶子节点，于是将 16 插入这个叶子节点中。

插入后的结果有两个，第一种是元素数量没达到B-树单个节点最多可存储元素的上限，这种情况无需任何操作；第二种是达到了上限，以上面这棵4阶B-树为例，它允许单个节点最多存储 3 个元素，但眼下的情况明显已经超了，于是需要进行上溢操作。

什么是上溢？

当单个节点的元素个数超出限制后（≥ m阶B-树的 m），取出当前节点中间的一个元素向上与父节点合并，同时中间元素的左右分裂为 2 个子节点，这 2 个子节点的元素个数必然不会低于最低限制（⌈ m / 2 ⌉ - 1）。

一次分裂完成后可能导致父节点上溢，按照此方法解决。

文字不好理解，还是看图：

b_tree_overflow

删除对应前面学过的二叉搜索树，如果删除的是叶子节点则直接删除即可，如果删除的是非叶子节点，那么需要先找到前驱/后继节点，用来替代被删除节点，然后这个前驱/后继作为真正被删除的节点，那么其实也还是删除叶子节点。

非叶子节点的前驱/后继元素必然在叶子节点中，真正的删除元素都是发生在叶子节点中。

接下来我们看一下删除一个节点会发生的事情，例如有这么一棵5阶B-树：

five_level_b_tree

假设要删除 22 这个元素，由于它在叶子节点中，因此可以直接删除，但这是一棵5阶B-树，一个5阶B-树的节点最少需要存储 2 个元素，这种情况需要进行下溢操作。

什么是下溢？

当叶子节点被删除一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（≥ ⌈ m / 2 ⌉ - 1），这时候需要让这个节点恢复到删除之前的平衡状态，也就是要恢复单个节点最少存储 ⌈ m / 2 ⌉ - 1 个元素的特点，有两种处理方式。

当兄弟节点当前存储的元素至少有 ⌈ m / 2 ⌉ 个元素，可以向其借一个元素，这种方式其实就是旋转。

例如上面的5阶B-树，删除 22 后剩下 24 ，将 20 向下和 24 合并，然后从【16，17，18】将 18 上溢代替 20 成为父节点，整个过程是一个右旋操作。
兄弟节点不够借，直接将父节点向下与左右子节点合并，合并后的节点元素个数等于 ⌈ m / 2 ⌉ + ⌈ m / 2 ⌉ - 2 ，不会超过 m - 1 ，这种操作可能造成父节点继续发生下溢，只需要重复进行下溢修复操作即可，下溢可能会一直向上传播，最坏则会到达根节点。