1. 红黑树
1.1. 二叉搜索树的缺陷
插入有序的数据时，二叉树左右分布就会容易变得不平衡
1.2. 非平衡树：
- 比较好的二叉搜索树数据应该是左右分布均匀的
- 但是插入连续数据后，分布的不均匀，我们称这种树是非平衡树
- 对于一课平衡二叉树来说，插入/查找等操作的效率是O(logN)
- 对于一棵非平衡二叉树，相当于编写了一个链表，查找效率变成了O(N)
1.3. 树的平衡性
为了能以较快的时间来操作一棵树，我们需要保证树总是平衡的 也就是说树中每个节点左边的子孙节点的个数，应该尽可能的等于右边的子孙节点的个数
常见的平衡树
-
AVL树：
- 每个节点多储存了一个额外的数据
- 插入和删除的操作相对于红黑树效率不高，所以整体效率不如红黑树
-
红黑树：
- 插入删除等操作性能优于AVL树，平衡树的应用基本上都是红黑树
1.4. 红黑树的规则
红黑树，除了符合二叉搜索树的基本规则之外，还添加了一些特性：
- 节点时红色或者黑色
- 根节点是黑色
- 每个叶节点都是黑色的空节点（NIL节点）
- 每个红色节点的两个子节点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）
- 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点
1.5. 红黑树的相对平衡
红黑树的特性： 从根到叶子的最长可能路径，不会超过最短可能路径的两倍长 结果就是这个树基本上述平衡的
为什么可以做到最长路径不超过最短路径的两倍呢？ 性质4决定了路径不能有两个相连的红色节点 最短的可能路径都是黑色节点 最长的路径是红色和黑色交替 性质5所有路径都有相同的数目的黑色节点 这就表明了没有路径能多余任何其他路径的两倍长
1.6. 变色
插入一个新节点时，有可能树不再平衡，可以通过三种方式的变换，让树保持平衡：换色-左旋转-右旋转
-
变色：为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变为黑色，或者把黑色节点变为红色 首先，需要知道插入的新的节点通常都是红色节点 因为在插入节点为红色的时候，有可能插入一次是不违反红黑树的任何规则的 而插入黑色节点，必然会导致有一条路径上多了黑色节点，这是很难调整的 红色节点可能导致出现红红相连的情况，但是这种情况可以通过颜色调换和旋转来调整
-
旋转
- 左旋转：逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子
- 左旋转：逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子
- 右旋转：顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子
1.7. 插入操作
讨论一下插入的情况： 设要插入的节点为N，其父节点为P 其祖父节点为G,其父亲的兄弟节点为U（即P和U是同一个节点的子节点）
情况一：
新节点N位于树的根上，没有父节点 这种情况，我们直接将红色换为黑色即可，这样满足性质2
情况二：
新节点的父节点P是黑色
- 性质4没有失效（新节点时红色的），性质5也没有任何问题
- 尽管新节点N有两个黑色的叶子节点nil,但是新节点N是红色的，所以通过它的路径中的黑色节点个数依然相同，满足性质5
情况三：
P为红色，U也是红色
父红叔红祖黑->父黑叔黑祖红
操作方案：
将P和U变换为黑色，并且将G变换为红色
现在新节点N有了一个黑色的父节点P，所以每条路径上黑色节点的数目没有改变
而从更高的路径上，必然都会经过G节点，所以那些路径的黑色节点数目也是不变的，符合性质5
可能出现的问题： 但是N的祖父节点G的父节点也可能是红色，这样就违反了性质3，可以递归的调整颜色 但是如果递归调整颜色到了根节点，就需要进行旋转了
情况四：
父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
操作方案：
对祖父节点G进行依次右旋转
在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是根节点以及以前祖父节点G的父节点
交换以前的父节点P和祖父节点G的颜色（P为黑色，G变成红色）
B节点向右平移，称为G节点的左子节点
情况五：
N的叔叔U是黑色节点，且N是有孩子 父红叔黑祖黑，N是右儿子-->以P为根左旋转，将P作为新插入的红色节点考虑即可-->自己变成黑色
操作方案： 对P节点进行依次左旋转，形成情况四的结果 对祖父节点G进行一次右旋转，并且改变颜色即可
1.8. 红黑树案例
案例：依次插入10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
- 插入10
- 插入节点10
- 将节点10的颜色改为黑色
- 插入9
- 符合情况2，不需要任何变化
- 插入8
- 符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
- 符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
4. 插入7
- 符合情况三：
- 父红叔红祖黑->父黑叔黑祖红
- 问题：不符合规则2：根节点为黑色
- 将根节点变为黑色
5. 插入6
-
符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
-
父变黑色
-
祖父变成红色
-
进行右旋转
6. 插入5
- 符合情况3
- 6节点变成黑色
- 8节点变成黑色
- 7节点变成红色
- 插入4
- 符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
- 颜色变化：5变成黑色6变成红色
- 旋转操作：以祖父为轴右旋转
- 插入3
- 符合情况3
- 第一次变化：4节点变黑色，6节点变黑色，5节点变红色
- 第一次变化后符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
- 第二次变化：7变黑色，9节点变红色，右旋转
9. 插入2
- 符合情况4：父红叔黑祖黑N是左儿子-->父黑祖红右旋转
- 3节点变黑色，4节点变红色
- 右旋转
10. 插入1
- 符合情况三
- 第一次变化：2和4变成黑色，3节点变成红色
- 第一次变换后符合情况3
- 第二次变化：5，9变黑色，7变红色
- 第二次变化后不符合规则二：根节点为黑色
- 第三次变化：根节点变黑色
1.9. 删除&代码
红黑树的删除操作需要将红黑树的规则和二叉搜索树的删除操作规则结合起来，比较复杂，难度很大
