前言
二分法是典型的搜索算法，其主要运用于有序序列中寻找目标值。其思路非常简单，就是不断比较搜索区间的中间值与目标值，当中间值等于目标值则结束搜索，如果中间值大于目标值，则继续搜索左半区间，反之搜索右半区间。
总结下，二分法就是在搜索过程中不断地将搜索区间减半，直到搜索到目标值或者搜索区间为空集。
实践
二分法的思路很简单，只要按照前面描述即可实现。那为何我们还要去学习掌握呢？
那是因为二分法看起来非常简单，但是却非常考验细节，我们称其为细节魔鬼也不为过。下面我们通过leetcode真题来学习。
leetcode-704 二分查找
我们先来个最简单的二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。（nums无重复）
const search = function(nums, target) {
// 初始区间
let left = 0
let right = nums.length - 1
// 结束条件 [right, left]搜索区间为空
while(right >= left) {
// 中间值
// 注意区分 Math.floor((right + left) / 2) 的写法
// 这种写法可以保证不会出现整数溢出
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
// 等于目标值返回
if (nums[mid] === target) return mid
// 大于目标值收缩右区间
// 注意mid已经被搜索过了
// 所以是mid-1
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1
}
// 小于目标值收缩左区间
// 同理mid+1
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
// 没有目标值返回-1
// 前提是我们搜索条件是 right >= left
// 可以保证已经搜索完所有元素
return -1
};
看我写完感觉不难，但是如果自己动手写呢？
我们来改变下搜索的结束条件，将 right >= left 改为 right > left
const search = function(nums, target) {
let left = 0
let right = nums.length - 1
// 结束条件更改为 [left, left] 此时还剩下唯一值未经搜索
while(right > left) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
if (nums[mid] === target) return mid
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1
}
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
// 相应需要对比剩余值和目标值完成搜索
return nums[left] === target ? left : -1
};
leetcode-35 搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。（nums无重复）
const searchInsert = function(nums, target) {
let left = 0
let right = nums.length - 1
let ans = null
// 我们保持结束条件不变
while(left <= right) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
// 返回目标值索引
if (nums[mid] === target) return mid
if (nums[mid] > target) {
// 我们在这引入新变量来存储位置
// 实际将更新为第一个大于目标值的元素索引
ans = mid
right = mid - 1
}
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
// 返回插入位置
return ans
};
leetcode-34 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
我们再来看看如何搜索边界值吧
给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
我们先来看看如何搜索左边界吧
const searchLeft = function(nums, target) {
let left = 0
let right = nums.length - 1
// 同样我们引入变量来存储位置
let first = -1
while(left <= right) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
if (nums[mid] === target) {
// 当元素值和目标值相等的时候
// 我们存储当前索引并缩减右区间
// 这样可以让我们有机会往左搜索左边界
first = mid
right = mid - 1
}
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1
}
// 这部分保持不变
// 只要搜索值小于目标值才会更新left值
// 可以保证left始终小于左边界或者等于左边界
// 如果等于左边界也不用担心
// 因为此索引会在我们所减右区间时被搜索
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
}
// 此时first变是左边界或者保持为-1
return first
同理，搜索右边界的代码也是一样的
const searchRight = function(nums, target) {
let left = 0
let right = nums.length - 1
let last = -1
while(left <= right) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
if (nums[mid] === target) {
// 唯一的改变点就是此时缩减左区间
// 以此达到往右到右边界的目的
last = mid
left = mid - 1
}
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1
}
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
}
return last
以搜索左边界为例，我们来试试改变搜索结束条件后的代码
const searchLeft = function(nums, target) {
let left = 0
let right = nums.length - 1
// 我们改变结束条件为left<right
// 也就是结束后剩下[left,left]未搜索
while(left < right) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
// 当搜索值大于目标值时我们缩减右区间
// 此时的区别在于更新右区间为mid而非mid-1
// 这边实际和搜索结束条件是有联系的
// 如果搜索条件为left<=right有可能导致搜索区间缩减为[right,right]后陷入死循环
if (nums[mid] >= target) {
right = mid
}
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1
}
}
}
// 同样的我们需要完成最后一个值的搜索
return nums[left] === target ? left : -1
算法公式
通过前面的题我们可以总结出一套常用的二分法公式
const search = (nums, target) => {
let left = 0
let right = nums.length - 1
// 有时候也可以是left<right
// 如果可以的话
// 我们尽量设置为left<=right完成全区间搜索
// 也方便统一
while(left <= right) {
const mid = left + Math.floor((right - left) / 2)
if (nums[mid] === target) {
// ...
}
if (nums[mid] > target) {
// ...
}
if (nums[mid] < target) {
// ...
}
}
return // ...
}
总结
今天我们通过三道经典题来掌握二分法，实际二分法还有很多其他的题型。虽然公式是大致相同的，但是其中的细节，包括初始边界，结束条件，以及循环体内的区间缩减都是很考验大家的。
