LeetCode 4. 寻找两个正序数组的中位数

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题目描述

给定两个大小分别为m和n的正序（从小到大）数组nums1和nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

算法的时间复杂度应该为$O(log (m+n))$。

数据范围

• $nums1.length == m$
• $nums2.length == n$
• $0 <= m <= 1000$
• $0 <= n <= 1000$
• $1 <= m + n <= 2000$
• $-10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6$

题目示例

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

算法思路

给定两个正序数组$nums1$和$nums2$，设对应数组长度为$len1$和$len2$，令$len = len1 + len2$。求两个正序数组中位数，相当于求两个正序数组中第$k$（k从1开始） 小的数，设$f(k)$表示两个正序数组中第$k$小数值：

• 当$len$为奇数时，$k = \lfloor len / 2 \rfloor + 1$，中位数为$f(k)$;
• 当$len$为偶数时，$k_1 = len / 2, k_2 = len / 2 + 1$，中位数为$(f(k_1) + f(k_2)) / 2$; 为方便讨论，令$len1 < len2$，$nums1$区间$[l1, r1]$，$nums2$区间$[l2, r2]$。

考虑一般情况，当$len1 > \lfloor k / 2 \rfloor$且$len2 > \lfloor k / 2 \rfloor$时，有如下三种情况：

1. $nums1[l1 + \lfloor k / 2 \rfloor] < nums2[l2 + \lfloor k / 2 \rfloor]$，此时中位数必然不在$nums1[l1, l1 + \lfloor k / 2 \rfloor]$区间中，故该区间可舍去；
2. $nums1[l1 + \lfloor k / 2 \rfloor] > nums2[l2 + \lfloor k / 2 \rfloor]$，此时中位数必然不在$nums2[l2, l2 + \lfloor k / 2 \rfloor]$区间中，故该区间可舍去；
3. $nums1[l1 + \lfloor k / 2 \rfloor] = nums2[l2 + \lfloor k / 2 \rfloor]$，此时二者都为中位数，可舍弃一个，因此该情况可与上述两种情况中的任意一种合并； 每次舍去后，$k$的值对应减少舍去的长度，转变为一个递归子问题。 相当于每次对$nums1$和$nums2$中的任意一个砍半，时间复杂度满足$log(n)$。

考虑特殊情况：

• 由于$len = len1 + len2, len1 < len2$且$k ≤ \lfloor len / 2 \rfloor + 1$，因此：
  • $len2 > \lfloor k / 2 \rfloor$；
  • 当$len1 < \lfloor k / 2 \rfloor$时，为统一操作，将$nums1$中所有元素全部取出；
  • 由于$len1$较短，合并一般情况中的1和3；
• 当$k = 1$时，按第$k$小数定义，取$nums1$和$nums2$的最小值；
• 当$nums1$先被划分完时，直接返回$nums2$的第$k$个元素；

AC代码

/**
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
    let len = nums1.length + nums2.length;
    if(len % 2 == 1) { 
        return find(nums1, 0, nums2, 0, (len >> 1) + 1);
    } else {
        // f(k1)
        let left = find(nums1, 0, nums2, 0, (len >> 1)); 
        // f(k2)
        let right = find(nums1, 0, nums2, 0, (len >> 1) + 1); 
        return (left + right) / 2;
    }
};

var find = function(nums1, l1, nums2, l2, k) {
    // 保证nums2比nums1长
    if(nums1.length - l1 > nums2.length - l2) return find(nums2, l2, nums1, l1, k);
    // 如果nums1已被全部舍去
    if(nums1.length === l1) return nums2[l2 + k - 1]; 
    if(k === 1) return Math.min(nums1[l1], nums2[l2]);
    // len1可能小于k
    let tl1 = Math.min(l1 + (k >> 1), nums1.length);
    let tl2 = l2 + (k >> 1);
    // 一般情况
    if(nums1[tl1 - 1] > nums2[tl2 - 1]) {
        return find(nums1, l1, nums2, l2 + (k >> 1), k - (k >> 1));
    } else {
        return find(nums1, tl1, nums2, l2, k - (tl1 - l1));
    }
}