关于C语言浮点数 float类型精度问题

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关于C语言浮点数 float类型精度问题

背景

《C Primer Plus》 3.4.6 float、double和long double小节中浮点数舍入错误问题。

代码：

/* float_rounding_error.c -- 实验浮点数舍入错误问题 */
#include <stdio.h>

int main(void)
{
  float a, b;

  b = 2.0e20 + 1.0;
  a = b - 2.0e20;

  printf("%f \n", a);

  return 0;
}

输出如下：

0.000000  <-- Linux系统下的老式gcc
-13584010575872.000000  <-- Turbo C 1.5
4008175468544.000000  <-- XCode 4.5、Visual Studio 2012、当前版本的gcc

书中给出的解释：

得出这些奇怪答案的原因是，计算机缺少足够的小数位来完成正确的运算。2.0e20是 2后面有20个0。如果把该数加1，那么发生变化的是第21位。要正确运算，程序至少要储存21位数字。而float类型的数字通常只能储存按指数比例缩小或放大的6或7位有效数字。在这种情况下，计算结果一定是错误的。另一方面，如果把2.0e20改成2.0e4，计算结果就没问题。因为2.0e4加1只需改变第5位上的数字，float类型的精度足够进行这样的计算。

总结

  1. 因为保存单精度浮点数的内存大小为32位，其中表示有效数字的尾数部分为23个比特，最多表示10进制下的7位数。所以不管是C标准还是IEEE 754内的定义，都是只保证从第一个非0数字开始往后数7位数字的精度。例如：123.456789（只保证1，2，3，4，5，6，7的精度）

  2. C标准定义10进制下的精度为6是因为计算机需要把数值转换成为2进制的数值保存，而2进制下的小数队列与10进制下的队列不是一一对应的。2进制小数能保证完整表示从0到9的只有10进制下的小数部分第6位。

解析

  • 2.0e20是 2后面有20个0。如果把该数加1，那么发生变化的是第21位。要正确运算，程序至少要储存21位数字。

    2.0e20 + 1 = 2.00000000000000000001e20（要这么保存才能保持精度）

  • 而float类型的数字通常只能储存按指数比例缩小或放大的6或7位有效数字。

    有效数字（维基百科）：

    有效数字指科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字。一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字，因此，1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。

    为什么是6或7位？

    先看看C语言采用的IEEE 754标准

    IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）:

    General_floating_point_frac.png
    二进制浮点数是以符号数值表示法的格式存储——最高有效位被指定为符号位（sign bit）；“指数部分”，即次高有效的e个比特，存储指数部分；最后剩下的f个低有效位的比特，存储“有效数”（significand）的小数部分（在非规约形式下整数部分默认为0，其他情况下一律默认为1）。

    float类型也就是单精度二进制小数，使用32个比特存储。

    SExpFraction
    1823位长
    3130至23偏正值（实际的指数大小+127）22至0位编号（从右边开始为0）

    S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。 指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

    尾数部分占23个比特（其实位数隐含了整数部分1，这23位是小数部分。但这里可以先忽略）。需要知道23位比特所能表达的最大值在10进制下至少需要几位数。

    • 可以根据公式 N=b^n-1（求在b进制下n个位数所能表达的最大数值）得出 2^23-1=8388607

    • 再根据 n=log(b)N （求在b进制下表达数值N至少需要的位数）得出 log8388607≈6.9 向上取整得7位。23位比特所能表达的最大值在10进制下至少需要7位数。

    结论：

    也就是说23位比特所能表达的最大数也就只能到7位。这正好就能解释“float类型的数字通常只能储存按指数比例缩小或放大的6或7位有效数字”。

    验证：

    /* significant_figures.c -- 单精度浮点类型的有效数字 */
#include <stdio.h>

int main(void)
{
  float a, b, c, d, e, f;

  a = 1234567;
  b = 1234567.89;
  c = 1234.56789;
  d = 123456789.7654321;
  e = 1.1234567;
  f = 0.123456;

  printf("a: %f \n", a);
  printf("b: %f \n", b);
  printf("c: %f \n", c);
  printf("d: %f \n", d);
  printf("e: %f \n", e);
  printf("f: %f \n", f);

  return 0;
}

    输出如下:

    a: 1234567.000000
b: 1234567.875000 
c: 1234.567871
d: 123456792.000000
e: 1.123457
f: 0.123456

    可以看到在有效数字超出7位以后就失去了精度。

    为什么默认只展示小数点后6位？

    C标准定义 FLT_DIG 10进制的精度位数 为6，也就是小数点后6位

    C标准函数库中的头文件float.h

    /* float_header_file.c -- float.h是C标准函数库中的头文件 */
#include <stdio.h>
#include <float.h>

int main(void)
{
  printf("The precision of float = %d\n", FLT_DIG );
  return 0;
}

    输出如下：

    The precision of float = 6

    那为什么会定义为小数点后6位而不是7位或8位呢？

    浮点数的精度 原因在于二进制小数与十进制小数没有完全一一对应的关系，二进制小数相比十进制小数来说，是离散而不是连续的，我们来看看下面这些数字：

    二进制小数十进制小数
    2^-231.00000011920928955078125
    2^-221.0000002384185791015625
    2^-211.000000476837158203125
    2^-201.00000095367431640625
    2^-191.0000019073486328125
    2^-181.000003814697265625

    这里只需要关注F，上面列出了1.xxx这类浮点数中的6个最小的二进制小数，及其对应的十进制数。可以看到使用二进制所能表示的最小小数是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，这两个数之间是有间隔的，如果想用二进制小数来表示8位有效数（只算小数部分，小数点前面的1是隐藏的默认值）1.00000002、1.00000003、1.00000004......这些数是无法办到的，而7位有效数1.0000001可以用2-23来表示，1.0000002可以用2-22来表示，1.0000003可以用2-23+2-22来表示。从这个角度来看，float型所能精确表示的位数只有7位，7位之后的数虽然也是精确表示的，但却无法表示任意一个想表示的数值。
    但还是有一些例外的，比如说7位有效数1.0000006这个数就无法用F表示，这也表明二进制小数对于十进制小数来说相当于是离散的，刚好凑不出1.0000006这个数，从这点来看float型所能精确表示的位数只有6位。因此float型的有效位数是6-7位，但这个说法应该不是非常准确，准确来说应该是6位，C语言的头文件中规定也是6位。对于一个很大的数，例如1234567890，它是由于指数E系数而被放大了的，但它的有效位仍然是F所能表示的6~7位有效数字。1234567890用float表示后为1234567936，只有高7位是有效位，后3位是无效的。int型可以准确的表示1234567890，而float浮点数则只能近似的表示1234567890，精度问题决定了float型无法取代int型。

    结论：

    从上文中可知，二进制存储的23位小数部分，在10进制数的小数部分中能完整且精准表示的只能到第6位。我想这就是C标准定义10进制的精度位数为6的原因。

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