507. 完美数

一、题目描述

对于一个 正整数，如果它和除了它自身以外的所有 正因子 之和相等，我们称它为 「完美数」。

给定一个 整数 n， 如果是完美数，返回 true，否则返回 false

二、 示例： 

示例 1：

输入： num = 28
输出： true
解释： 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。

示例 2：

输入： num = 6
输出： true

示例 3：

输入： num = 496
输出： true

示例 4：

输入： num = 8128
输出： true

示例 5：

输入： num = 2
输出： false

提示：

• 1 <= num <= 108

三、 分析

暴力解法：枚举，对于给定正整数num，我们枚举它所有正因子，只需要枚举小于等于$\sqrt{num}$的正因子即可。注意，当 $q*q=num$ 时，只需计算一个即可。

复杂度分析：

需枚举$\sqrt{num}$个树，时间复杂度为$O(\sqrt{num})$。无需额外空间，空间复杂度为$O(1)$。

四、 编码

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if (num == 1) {
            return false;
        }
        int sum = 1;
        for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i;
                if (i * i != num) {
                    sum += num / i;
                }
            }
        }
        return sum == num;
    }
}

优秀的解法

什么叫优秀，什么tmd叫优秀！
根据欧几里得-欧拉定理，每个偶完全数都可以写成

$2^{p - 1}(2^p - 1)$

的形式，其中 p 为素数且 $2^p-1$为素数。

由于目前奇完全数还未被发现，因此题目范围 $[1,10^8]$内的完全数都可以写成上述形式。

这一共有如下 5 个：

6,28,496,8128,33550336

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        return num == 6 || num == 28 || num == 496 || num == 8128 || num == 33550336;
    }
}

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