472. 连接词 : 序列 DP（字符串哈希优化）应用题题目描述这是 LeetCode 上的 472. 连接词，难度

题目描述

这是 LeetCode 上的 472. 连接词 ，难度为困难。

Tag : 「字符串哈希」、「序列 DP」

给你一个不含重复单词的字符串数组 words ，请你找出并返回 words 中的所有连接词。

连接词定义为：一个完全由给定数组中的至少两个较短单词组成的字符串。

示例 1：

输入：words = ["cat","cats","catsdogcats","dog","dogcatsdog","hippopotamuses","rat","ratcatdogcat"]

输出：["catsdogcats","dogcatsdog","ratcatdogcat"]

解释："catsdogcats" 由 "cats", "dog" 和 "cats" 组成; 
     "dogcatsdog" 由 "dog", "cats" 和 "dog" 组成; 
     "ratcatdogcat" 由 "rat", "cat", "dog" 和 "cat" 组成。

示例 2：

输入：words = ["cat","dog","catdog"]

输出：["catdog"]

提示：

$1 <= words.length <= 10^4$
$0 <= words[i].length <= 1000$
$words[i]$ 仅由小写字母组成
$0 <= sum(words[i].length) <= 10^5$

序列 DP + 字符串哈希

给定数组 $words$ ，先考虑如何判断某个 $s = words[i]$ 是否为「连接词」。

为了方便，我们称组成 s 的每个连接部分为 item。

举个 🌰，例如 s = abc，其可能的 item 组合为 a 和 bc。

判断单个字符串是否为连接词可使用动态规划求解：定义 $f[i]$ 为考虑 s 的前 $i$ 个字符（令下标从 $1$ 开始），能够切分出的最大 item 数的个数。

这里之所以采用「记录 $f[i]$ 为最大分割 item 数（int 类型动规数组）」，而不是「记录 $f[i]$ 为是否可由多个 item 组成（bool 类型动规数组）」，是因为每个 $s = words[i]$ 至少可由自身组成，采用 bool 记录状态的话，最终 $f[n]$ 必然为 True，需要额外处理最后一个状态，干脆记录最大分割数量好了。此时如果 s 为「连接词」必然有 $f[n] > 1$ 。

不失一般性的考虑 $f[i]$ 该如何转移：假设 $f[i]$ 可由 $f[j]$ 转移而来（其中 $j < i$ ），那么能够转移的充要条件为 $f[j] != 0$ 且子串 $s[(j + 1)..i]$ 在 $words$ 出现过。

其中枚举 $i$ 和 $j$ 的复杂度已经去到 $O(n^2)$ 了，如果常规通过 HashMap 等数据结构判断某个字符串是否存在，执行哈希函数时需要对字符进行遍历，整体复杂度去到了 $O(n^3)$ ，会 TLE。

我们通过「字符串哈希」方式来优化判断某个子串是否存在于 $words$ 中。

具体的，在判断每个 $s = words[i]$ 是否为为连接词前，先对 $words$ 进行遍历，预处理每个 $words[i]$ 的哈希值，并存入 HashSet 中，这样我们将「判断某个子串是否存在于 $words$ 」的问题转化为「判断某个数值是否存在于 Set 当中」。

又由于我们在计算某个子串 s 的哈希值时，是从前往后处理每一位的 $s[i]$ ，因此在转移 $f[i]$ 时，我们期望能够从前往后处理子串，这是常规的从 $[0, i - 1]$ 范围内找可转移点 $f[j]$ 无法做到的。

所以我们调整转移逻辑为：从 $f[i]$ 出发，枚举范围 $[i + 1, n]$ ，找到可由 $f[i]$ 所能更新的状态 $f[j]$ ，并尝试使用 $f[i]$ 来更新 $f[j]$ 。转移方程为：

f[j] = \max(f[j], f[i] + 1)

当然，能够转移的前提条件为 $f[i]$ 为有效值，且子串 $s[(i + 1), j]$ 在 $words$ 出现过。

一些细节：为了方便，我们定义 $f[i] = -1$ 为无效状态；另外由于字符串哈希会产生哈希碰撞，这里在计算哈希值的时候，修改了一下哈希计算方式（额外增加了一个 OFFSET），当时的目的是想在电脑没电前 AC，而另一个更加稳妥的方式是使用双哈希，或是干脆记录某个哈希值对应了哪些字符串。

代码：

class Solution {
    Set<Long> set = new HashSet<>();
    int P = 131, OFFSET = 128;
    public List<String> findAllConcatenatedWordsInADict(String[] words) {
        for (String s : words) {
            long hash = 0;
            for (char c : s.toCharArray()) hash = hash * P + (c - 'a') + OFFSET;
            set.add(hash);
        }
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (String s : words) {
            if (check(s)) ans.add(s);
        }
        return ans;
    }
    boolean check(String s) {
        int n = s.length();
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, -1);
        f[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            if (f[i] == -1) continue;
            long cur = 0;
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                cur = cur * P + (s.charAt(j - 1) - 'a') + OFFSET;
                if (set.contains(cur)) f[j] = Math.max(f[j], f[i] + 1);
            }
            if (f[n] > 1) return true;
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度：令 $n$ 为 $words$ 数组长度， $N = \sum_{i = 0}^{n - 1}words[i].length$ ，根据数据范围 $N$ 最大为 $1e5$ 。预处理出 Set 的复杂度为 $O(N)$ ；会对所有 $words[i]$ 执行 check 操作，复杂度为 $O((words[i].length)^2)$ ，总的计算量最大值为 $O(N^2)$ ，由于存在剪枝，实际上达不到该计算量
空间复杂度： $O(n + \max(words[i].length))$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.472 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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