题目

124. 二叉树中的最大路径和

路径 被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中 至多出现一次 。该路径 至少包含一个 节点，且不一定经过根节点。

路径和 是路径中各节点值的总和。

给你一个二叉树的根节点 root ，返回其 最大路径和 。

示例 1：

输入：root = [1,2,3]
输出：6
解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6

示例 2：

输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
输出：42
解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42

思路：

这种问题，肯定要先想办法把问题化小。

虽然题目说了最大路径和不一定会走根节点，但我们仍要以任意一个节点为根节点的情况去分析，这个不影响。

某个节点node的最大路径和，是该节点值node.val加上它左侧的最大路径leftBestPath和右侧的最大路径rightBestPath。

那么这里左侧的最大路径leftBestPath，是去node.left的子树里面找一条路径值最大的

我们定义一个概念，节点的最优路径值：就是某一个节点，从它开始向下找，找一条值最大的路径。

从它开始向下，无非是选择向左或者向右走，或者不走停住。

选择向哪边走，就是要比较上面说的3种情况的值，左子节点的最优路径、右子节点的有最路径、0

我们定义一个方法getBestPath去计算任意节点的最优路径值

这里就可以得到，某一个节点的最优路径值公式

解释一下就是

某节点的最优路径 = 它左子节点的最优路径、右子节点的最优路径、0，比较取最大值 getBestPath(node) = Math.max(Math.max(getBestPath(node.left),0),Math.max(getBestPath(node.right),0)) 这里因为该题有可能有负节点，所以我们需要去和0比较，如果该节点的最优路径值小于0，那么我们宁可不要了，这条路就不往下走了。如果左右都小于0，那就停在原地最划算。

接着我们要分析某个节点的最大路径和，最大路径和 == 当前节点值 + 左侧最优路径 + 右侧最优路径

这样我们仍然选择从跟节点开始遍历，采用后序遍历的方式，分别算出左右子节点的最优路径值，然后和当前节点值相加，得到的值我们用一个变量来维护MaxPathValue，我们继续往下遍历，每计算一次节点的最大路径和，都去和MaxPathValue比较一下，如果更大，则更新MaxPathValue

/**
 * @param {TreeNode} root
 * @return {number}
 */

var maxPathSum = function(root) {
    maxPathValue = -Infinity;
    getBestPath(root);
    return maxPathValue;
};


function getBestPath(node){
    if(!node) return 0;
    let leftBestPath = Math.max(getBestPath(node.left),0);
    let rightBestPath = Math.max(getBestPath(node.right),0);

    let currentBestPath = node.val + leftBestPath + rightBestPath;

    maxPathValue = Math.max(currentBestPath,maxPathValue)

    return node.val + Math.max(leftBestPath,rightBestPath)
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n),这里需要遍历所有的节点

空间复杂度：O(n),递归调用需要栈去额外存储函数上下文，所以这里的n就是二叉树的最大高度，最坏的情况，当二叉树是一个链表的时候，为O(n)