目录
一.课本知识点
1.树的基本概念
a.树的定义
- 树的抽象数据类型定义
- 图形表示法：
- 广义表表示法:
- 左孩子－右兄弟表示法 :
b.若干术语
c.逻辑结构
- **特点：**一对多（1:n） 除了根结点，其余结点都只有一个直接前驱，有多个直接后继，且子树之间互不相交。
- 树是非线性结构，该怎样存储？
——仍然有顺序存储、链式存储等方式。 - 树的顺序存储方案应该怎样制定？
可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）
d.存储结构
- 树的链式存储方案应该怎样制定？
e.树的运算
- 明确：
2.二叉树
- 为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？
a.二叉树的定义
- **定义：**是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。
- 逻辑结构： 一对二（1：2）
- 基本特征:
- 二叉树的抽象数据类型定义：
b.二叉树的性质
- 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0）
- 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>0）。
- 性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
- 满二叉树：
- 完全二叉树：
- 完全二叉树的特点：
- 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n ＋1 log2n 是指不大于log2n的一个整数
- 性质5: 对n个结点的完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i（2i>n无左孩子），其右孩子编号必为2i＋1 （2i＋1>n无右孩子） ；其双亲的编号必为 i/2 （i＝1 时为根,除外）。
c.二叉树的存储结构
- 顺序存储结构
- 链式存储结构
3.遍历二叉树和线索二叉树
- 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
-
结点数据类型自定义 typedef struct Tnode{ int data; struct Tnode *lchild,*rchild； } Tnode, *BiTree; 先序遍历算法 DLR(Tnode *root ){ if (root){ //非空二叉树 printf(“%d”,root->data); //访问D DLR(root->lchild); //递归遍历左子树 DLR(root->rchild); //递归遍历右子树 } return(0); } 中序遍历算法 LDR(Tnode *root){ if(root){ LDR(root->lchild); printf(“%d”,root->data); LDR(root->rchild); } return(0);} 后序遍历算法 LRD (Tnode *root){ if(root){ LRD(root->lchild); LRD(root->rchild); printf(“%d”,root->data); } return(0);} -
计算二叉树中叶子结点的数目
先序遍历算法 DLR(Tnode *root ){ if (root){ //非空二叉树 printf(“%d”,root->data); //访问D DLR(root->lchild); //递归遍历左子树 DLR(root->rchild); //递归遍历右子树 } return(0); } DLR(Tnode *root) //采用先序遍历的递归算法 { if ( root!=NULL ) //非空二叉树条件，还可写成if(root) { if(!root->lchild&&!root->rchild) //是叶子结点 {sum++; printf("%d\n",root->data);} DLR(root->lchild); //递归遍历左子树，直到叶子处； DLR(root->rchild); }//递归遍历右子树，直到叶子处； } return(0); } -
求二叉树深度
int Depth(BiTree T) { if (T= =NULL) return 0; else { hl= Depth(T->lchild); hr= Depth(T ->rchild); return max(hl, hr)+1; } } -
二叉树的建立：
思路：利用前序遍历来建树(结点值陆续从键盘输入) Status createBTpre(BiTree T ){ scanf(“%c”,&ch); if(ch==’# ’)T=NULL; else{ T=( Bintree )malloc(sizeof(Tnode)); T->data=ch; createBTpre(T->lchild); createBTpre(T->rchild); } return OK; } -
前序遍历——非递归算法（伪代码）
1.栈s初始化； 2.循环直到p为空且栈s为空 2.1 当p不空时循环 2.1.1 输出p->data; 2.1.2 将指针p的值保存到栈中； 2.1.3 继续遍历p的左子树 2.2 当p为空，栈s不空，则 2.2.1 将栈顶元素弹出至p； 2.2.2 准备遍历p的右子树； Status preTraverse(BiTree T,Status( *Visit)(TElemType e)) { //前序遍历的非递归算法 InitStack( S ); p=T; while ( p || !StackEmpty(S) ) {// 栈不空或树不空 if ( p ) { if ( !Visit( p->data) ) return ERROR;访问根结点, Push(S,p); p= p->lchild; } // 根指针进栈,遍历左子树 else { // 左子树访问完了,根指针退栈, 遍历右子树 Pop( S,p); p = p->rchild; } // else } // while return OK; } // InorderTraverse -
线索二叉树：
-
有关线索二叉树的几个术语：
这块儿其实挺重要的 但是我不想写了
4.树和森林
- 树有三种常用存储方式： ①双亲表示法 ②孩子表示法 ③孩子兄弟表示法
- 双亲表示法：
- 孩子表示法
- 孩子兄弟表示法
- 树和森林与二叉树的转换
-
树的遍历 ----前序遍历
-
树的遍历 ----后序遍历
-
树的遍历 ----层序遍历
- 总结： 树的先序遍历等价于二叉树的先序遍历
树的后序遍历等价于二叉树的中序遍历
- 总结： 树的先序遍历等价于二叉树的先序遍历
5.哈夫曼树及其应用
- 预备知识：若干术语
- 哈夫曼树的特点：
1. 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。
2. 只有度为0（叶子结点）和度为2（分支结点）的结点，不存在度为1的结点. - **构造哈夫曼树的基本思想：**权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。
- 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
二.练习题
题组一：
题组二：
一、判断正误
（ √ ）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
（ × ）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。
（ √ ）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
（ × ）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
（ × ）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。 （应当是二叉排序树的特点）
（ × ）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。（应2i-1）
（ × ）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。
（ × ）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。（应2i-1）
（ √ ）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。
（正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。
（ √ ）10. 〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
二、填空题
1． 由３个结点所构成的二叉树有 5 种形态。
2. 一棵深度为6的满二叉树有 n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和 26-1 =32 个叶子。
注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。
3． 一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为 9 。
（ 注：用ë log2(n) û+1= ë 8.xx û+1=9
- 设一棵完全二叉树有700个结点，则共有 350 个叶子结点。
答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350
5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有 500 个叶子结点，有 499 个度为2的结点，有 1 个结点只有非空左子树，有 0 个结点只有非空右子树。
答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。 另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0.
6. 一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为 n ，最小深度为 2 。
答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。)
7. 二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按 L R N 次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。
8.中序遍历的递归算法平均空间复杂度为 O(n) 。
答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1，包括叶子的空域也递归了一次。
9. 用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是 33 。
三、单项选择题
（ C ）1． 不含任何结点的空树 。
（Ａ）是一棵树; （Ｂ）是一棵二叉树;
（Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树; （Ｄ）既不是树也不是二叉树
答：以前的标答是B，因为那时树的定义是n≥1
（ C ）2．二叉树是非线性数据结构，所以 。
（Ａ）它不能用顺序存储结构存储; （Ｂ）它不能用链式存储结构存储;
（Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储; （Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用
（ C ）3. 〖01年计算机研题〗 具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为 。
(Ａ) élog2(n)ù (Ｂ) ë log2(n)û (Ｃ) ë log2(n) û+1 (Ｄ) élog2(n)+1ù
注1：éx ù表示不小于x的最小整数；ë xû表示不大于x的最大整数，它们与[ ]含义不同！
注2：选（A）是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎ë log2(n) +1û是对的？
（ A ）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是 。
（Ａ）唯一的 （Ｂ）有多种
（Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子 （Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子
5. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。
树是结点的有限集合，它A 根结点，记为T。其余的结点分成为m（m≥0）个 B
的集合T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点T称为Ti的父结点，Ti称为T的子结点（1≤i≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的 C 。
供选择的答案
A： ①有0个或1个 ②有0个或多个 ③有且只有1个 ④有1个或1个以上
B: ①互不相交 ② 允许相交 ③ 允许叶结点相交 ④ 允许树枝结点相交
C： ①权 ② 维数 ③ 次数（或度） ④ 序
答案：ABC＝1，1，3
6. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。
二叉树 A 。在完全的二叉树中，若一个结点没有 B ，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的 C ，而N的右子女是它在原树里对应结点的 D 。
供选择的答案
A： ①是特殊的树 ②不是树的特殊形式 ③是两棵树的总称 ④有是只有二个根结点的树形结构
B: ①左子结点 ② 右子结点 ③ 左子结点或者没有右子结点 ④ 兄弟
C～D： ①最左子结点 ② 最右子结点 ③ 最邻近的右兄弟 ④ 最邻近的左兄弟
⑤ 最左的兄弟 ⑥ 最右的兄弟
答案：A= B= C= D＝
答案：ABCDE＝2，1，1，3
四、分析求解题
题组三：
