西北工业大学 2021秋 信号与系统 实验一

yyz_npu
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实验一

实验环境：Windows 11 + Python 3.9。

该实验报告由markdown编写，已上传至Gitee。

# 需要声明使用以下库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as sgn

1.绘制下列连续时间信号的波形

1.1 x(t)=cos(2πt)[u(t)−u(t−3)]x(t)=cos(2\pi t)[u(t)-u(t-3)]

#声明导入numpy和matplotlib的pyplot包。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#将这个实验分装到一个函数中
def ex1_1():
    #规定t的范围为0到2，梯度0.01递增
    t = np.arange(0, 2, 0.01)
    #x(t)函数。使用numpy的heaviside函数作为阶跃函数，第一个参数为自变量，第二个参数1表示取0时函数值为1。
    x = np.cos(2 * np.pi * t) * (np.heaviside(t, 1) - np.heaviside(t - 3, 1))
  
    #作图。横轴为t，纵轴为x
    plt.plot(t, x)
    #以下三句声明横轴和纵轴的标签以及图像
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("x(t)")
    plt.title("Figure 1.1: x(t)")
    #绘制图像
    plt.show()

#运行这个实验函数
ex1_1()

ex1-1-1.png

1.2 h(t)=e−tu(t)−e−3tu(t)h(t)=e^{-t}u(t)-e^{-3t}u(t)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex1_2():
    #t的取值范围0到2
    t = np.arange(0, 2, 0.01)
    #h(t)函数
    h = np.exp(-t) * np.heaviside(t, 1) - np.exp(-3 * t) * np.heaviside(t, 1)
    #作图
    plt.plot(t, h)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("h(t)")
    plt.title("Figure 1.2: h(t)")
    plt.show()

ex1_2()

ex1-1-2.png

1.3 宽度为1，横坐标中心为0，幅度为1的门函数y(t)=G1(t)y(t)=G_1(t)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex1_3():
    #t的取值范围-2到2
    t = np.arange(-2, 2, 0.01)
    #用阶跃函数实现门函数
    h = np.heaviside(t + 0.5, 1) - np.heaviside(t - 0.5, 1)

    #作图
    plt.plot(t, h)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.title("Figure 1.3: y(t)=G_1(t)")
    plt.show()

ex1_3()

ex1-1-3.png

2.验证信号的基本运算

2.1 以单位门函数为例，画出y(2t)y(2t)、y(t/2)y(t/2)、y(1−2t)y(1-2t)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex2_1():
    t = np.arange(-2, 2, 0.01)
    g = np.heaviside(t + 0.5, 1) - np.heaviside(t - 0.5, 1)
    # y(2t)
    y1 = np.heaviside(2 * t + 0.5, 1) - np.heaviside(2 * t - 0.5, 1)
    # y(t/2)
    y2 = np.heaviside(t / 2 + 0.5, 1) - np.heaviside(t / 2 - 0.5, 1)
    # y(1-2t)
    y3 = np.heaviside((1 - 2 * t) + 0.5, 1) - np.heaviside((1 - 2 * t) - 0.5, 1)
    # 第一幅图像
    plt.subplot(3, 1, 1)
    plt.plot(t, g, t, y1)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.legend(['y(t)', 'y(2t)'])
    plt.title("Figure 2.1: y(t), y(2t), y(t/2) and y(1-2t)")
    # 第二幅图像
    plt.subplot(3, 1, 2)
    plt.plot(t, g, t, y2)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.legend(['y(t)', 'y(t/2)'])
    # 第三幅图像
    plt.subplot(3, 1, 3)
    plt.plot(t, g, t, y3)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.legend(['y(t)', 'y(1-2t)'])
    # 绘图
    plt.show()

ex2_1()

ex1-2-1.png

2.2 作图sin⁡(t)+sin⁡(π4t)\sin(t)+\sin(\frac{\pi}{4}t)，观察周期

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex2_2():
    t = np.arange(-20, 20, 0.01)
    y = np.sin(t) + np.sin(np.pi * t / 4)
  
    plt.plot(t, y)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.title("Figure 2.2: y(t)=sin(t)+sin(pi*t/4)")
    plt.grid()
    plt.plot()
    plt.show()

ex2_2()

ex1-2-2.png

无周期。

2.3 作图sin⁡(πt)+sin⁡(2πt)\sin(\pi t)+\sin(2\pi t)，观察周期


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex2_3():
    t = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.sin(np.pi * t) + np.sin(2 * np.pi * t)
  
    plt.plot(t, y)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.title("Figure 2.3: y(t)=sin(pi*t)+sin(2*pi*t)")
    plt.gird()
    plt.show()

ex2_3()

ex1-2-3.png

周期为2。

3.卷积运算

x(t)=[e−3tu(t)]∗[e−tu(t)]x(t)=[e^{-3t}u(t)]*[e^{-t}u(t)]

3.1 理论推导，观察数值

x(t)=[e−3tu(t)]∗[e−tu(t)]=∫−∞∞e−3τu(τ)⋅eτ−tu(t−τ) dτ=∫0te−2t−τ dτ=−12e−3t+12e−tx(t)=[e^{-3t}u(t)]*[e^{-t}u(t)] =\int^{\infty}_{-\infty}e^{-3\tau}u(\tau) \cdot e^{\tau-t}u(t-\tau)\ {\rm d}\tau =\int^t_0e^{-2t-\tau}\rm\ d\tau =-\frac{1}{2}e^{-3t}+\frac{1}{2}e^{-t}

3.2 仿真，获取数值

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex3():
    t = np.arange(0, 20, 0.01)
    y1 = np.exp(-3 * t) * np.heaviside(t, 0)
    y2 = np.exp(-t) * np.heaviside(t, 0)
    # 将y1和y2进行卷积。由于计算是离散的点，卷积后需要乘以步长。
    y = sgn.convolve(y1, y2) * 0.01
    plt.plot(np.arange(0, 39.99, 0.01), y, label='simulate')
    # 绘制理论值图像
    t_theory = np.arange(0, 40, 0.1)
    y_theory = -0.5 * np.exp(-3 * t_theory) + 0.5 * np.exp(-t_theory)
    plt.plot(t_theory, y_theory, label='theory')
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("y(t)")
    plt.title("Figure 3: Convolution")
    plt.legend()
    plt.show()

ex3()

ex1-3.png

3.3 对比理论数值

由图3可知，python仿真值与理论值一致。

4.求解系统的零状态响应

设有一个线性时不变系统，微分方程为r′′(t)+3r′(t)+2r(t)=f(t)r''(t)+3r'(t)+2r(t)=f(t),其中f(t)f(t)为输入信号，r(t)r(t)为系统输出，f(t)=e−2tu(t)f(t)=e^{-2t}u(t).

4.1 理论计算，求零状态响应

设r(t)=eλtr(t)=e^{\lambda t},代入r′′(t)+3r′(t)+2r(t)=0r''(t)+3r'(t)+2r(t)=0,解得λ=−1\lambda =-1或λ=−2\lambda = -2。

冲激函数h(t)=(e−t−e−2t)u(t)h(t)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t).

得到零状态响应：

rZS=e−2tu(t)∗(e−t−e−2t)u(t)=∫−∞+∞e−2τu(τ)⋅(e−(t−τ)−e−2(t−τ))u(t−τ)dτ=∫0te−2τ⋅(e−t+τ−e−2t+2τ)dτ=∫0te−t−τ−e−2tdτ=−e−t−τ−e−2tτ∣0t=e−t−(1+t)e−2tr_{ZS} = e^{-2t}u(t)*(e^{-t}-e^{-2t})u(t) =\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-2\tau}u(\tau)\cdot (e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)})u(t-\tau){\rm d}\tau =\int_{0}^te^{-2\tau}\cdot(e^{-t+\tau} - e^{-2t+2\tau}){\rm d}\tau =\int_0^t e^{-t-\tau}-e^{-2t}{\rm d}\tau = \left. -e^{-t-\tau}-e^{-2t}\tau \right|_0^t = e^{-t}-(1+t)e^{-2t}

4.2 仿真计算

python仿真：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as sgn

def ex4():
    # 线性时不变系统
    system = sgn.lti([1], [1, 3, 2])
    # 自变量取值
    t = np.arange(0, 10, 0.01)
    # f(t)
    f = np.exp(-2 * t) * np.heaviside(t, 0)
    # 理论值
    y = np.exp(-t)-(1+t) * np.exp(-2*t)
    plt.subplot(2, 1, 1) #指定图像位置
    plt.plot(t,y) #作图理论值
    plt.ylabel("r_ZS")
    plt.title('Figure 4: Zero-State Response')
    #用lsim函数获取系统零状态响应
    tout, yout, xout = sgn.lsim(system, f, t)
    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.plot(t, y ,label='theory')
    plt.plot(tout, yout, label='simulate') #python仿真值
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("r_ZS")
    plt.legend()
    plt.show()
  
ex4()

图像结果：

ex1-4.png

4.3 比较差异

由图像可知，python仿真值与理论值一致。

5.周期信号的傅里叶展开

定义一个周期信号f(t)f(t)为矩形脉冲序列，如图所示，设定E=1E=1,τ=1\tau =1,T=2T=2.

ex1-5.png

用python模拟该矩形脉冲序列：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ex5_origin():
    # 范围从-5到5
    t = np.linspace(-5, 5, 500, endpoint=False)
    # 用sgn.square函数绘制矩形脉冲
    plt.plot(t, 0.5+sgn.square(np.pi*(t+0.5))/2)
    plt.grid() #刻度
    plt.show()
  
ex5_origin()

图像如下：

ex1-5-0.png

5.1 利用三角函数求傅里叶展开

a0=1T∫−T2T2f(t)dt=12∫−11f(t)dt=12∫−12121dt=12a_0=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t){\rm d}t=\frac{1}{2}\int^1_{-1}f(t){\rm d}t=\frac{1}{2}\int^{\frac{1}{2}}_{-\frac{1}{2}}1{\rm d}t=\frac{1}{2}
an=2T∫−T2T2f(t)cos⁡nΩtdt=22∫−11f(t)cos⁡nΩtdt=∫−1212cos⁡Ωntdt=2nπsin⁡nΩ2a_n =\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega t{\rm d}t =\frac{2}{2}\int^1_{-1}f(t)\cos n\Omega t{\rm d}t =\int^{\frac{1}{2}}_{-\frac{1}{2}}\cos\Omega nt{\rm d}t =\frac{2}{n\pi}\sin \frac{n\Omega}{2}

取Ω=2πT=π\Omega =\frac{2\pi}{T}=\pi得

an=2nπsin⁡nπ2a_n=\frac{2}{n\pi}\sin \frac{n\pi}{2}
bn=2T∫−T2T2f(t)sin⁡nΩtdt=0b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega t{\rm d}t=0

故该周期信号利用三角函数的傅里叶展开为

f(t)=1n+∑n=1∞2nπsin⁡nπ2cosnπtf(t)=\frac{1}{n}+\sum^\infty_{n=1}\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}cosn\pi t

带入数值：

f(t)=12+2πcos⁡(πt)−23πcos⁡(3πt)+25πcos⁡(5πt)−27πcos⁡(7πt)+⋯f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\cos(\pi t)-\frac{2}{3\pi}\cos(3\pi t)+\frac{2}{5\pi}\cos(5\pi t)-\frac{2}{7\pi}\cos(7\pi t)+\cdots

5.2 仿真前3项和、前5项和

前三项和：

f(t)=12+2πcos⁡(πt)−23πcos⁡(3πt)f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\cos(\pi t)-\frac{2}{3\pi}\cos(3\pi t)

前五项和：

f(t)=12+2πcos⁡(πt)−23πcos⁡(3πt)+25πcos⁡(5πt)f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\cos(\pi t)-\frac{2}{3\pi}\cos(3\pi t)+\frac{2}{5\pi}\cos(5\pi t)

python仿真：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as sgn
def ex5_2():
    t = np.arange(-10, 10, 0.01)
    # 原函数
    y = 0.5 + sgn.square(np.pi * (t + 0.5)) / 2
    # 前三项和
    y1 = 0.5 + 2 * np.cos(np.pi * t) / np.pi - 2 * np.cos(3 * np.pi * t) / 3 / np.pi
    # 前五项和
    y2 = y1 + 2 * np.cos(5 * np.pi * t) / 5 / np.pi
    # 绘图
    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.plot(t, y, t, y1)
    plt.ylabel("f(t)")
    plt.legend(['first 3 sums', 'simulate'])
    plt.title("Figure 5.2: First 3 and 5 Sums")
    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.plot(t, y, t, y2)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("f(t)")
    plt.legend(['first 5 sums', 'simulate'])
    plt.show()

ex5_2()

图像结果：

ex1-5-2.png

5.3 进行傅里叶指数级数展开，写出指数傅里叶级数表达式

由5.1得：

F0=a0=12Fn=12(an−jbn)F−n=12(an+jbn)F_0=a_0=\frac{1}{2} F_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) F_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+jb_n)

故：

Fn=F−n=12an=2nπsin⁡nπ2F_n=F_{-n}=\frac{1}{2}a_n=\frac{2}{n\pi}\sin \frac{n\pi}{2}
f(t)=∑n=−∞∞FnejnΩt=F0+∑n=1∞FnejnΩt+∑n=1∞F−ne−jnΩt=12+∑n=1∞2nπsin⁡nπ2ejnΩt+∑n=1∞2nπsin⁡nπ2e−jnΩtf(t) =\sum^\infty_{n=-\infty}F_ne^{jn\Omega t} =F_0+\sum^\infty_{n=1}F_ne^{jn\Omega t}+\sum^\infty_{n=1}F_{-n}e^{-jn\Omega t} =\frac{1}{2}+\sum^\infty_{n=1}\frac{2}{n\pi}\sin \frac{n\pi}{2}e^{jn\Omega t}+\sum^\infty_{n=1}\frac{2}{n\pi}\sin \frac{n\pi}{2}e^{-jn\Omega t}

带入数值即：

f(t)=12+1πejπt+1πe−jπt−13πe3jπt−13πe−3jπt+15πe5jπt+15πe−5jπt+⋯f(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}e^{j\pi t}+\frac{1}{\pi}e^{-j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{3j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{-3j\pi t}+\frac{1}{5\pi}e^{5j\pi t}+\frac{1}{5\pi}e^{-5j\pi t}+\cdots

5.4 仿真前3项和、前5项和

前三项和：

f(t)=12+1πejπt+1πe−jπt−13πe3jπt−13πe−3jπtf(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}e^{j\pi t}+\frac{1}{\pi}e^{-j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{3j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{-3j\pi t}

前五项和：

f(t)=12+1πejπt+1πe−jπt−13πe3jπt−13πe−3jπt+15πe5jπt+15πe−5jπtf(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}e^{j\pi t}+\frac{1}{\pi}e^{-j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{3j\pi t}-\frac{1}{3\pi}e^{-3j\pi t}+\frac{1}{5\pi}e^{5j\pi t}+\frac{1}{5\pi}e^{-5j\pi t}

python仿真：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as sgn

def ex5_3():
    t = np.arange(-10, 10, 0.01)
    # 原函数
    y = 0.5 + sgn.square(np.pi * (t + 0.5)) / 2
    # 前三项和
    y1 = 0.5 + np.exp(1j * np.pi*t)/np.pi + np.exp(-1j * np.pi*t)/np.pi-np.exp(3j * np.pi*t)/np.pi/3-np.exp(-3j * np.pi*t)/np.pi/3
    # 前五项和
    y2 = y1 + np.exp(5j * np.pi*t)/np.pi/5+np.exp(-5j * np.pi*t)/np.pi/5
    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.plot(t, y, t, y1.real) #y1需要取实数
    plt.ylabel("f(t)")
    plt.legend(['origin', 'first 3 sums'])
    plt.title("Figure 5.3: First 3 and 5 Sums Simulate")
    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.plot(t, y, t, y2.real)
    plt.xlabel("t[s]")
    plt.ylabel("f(t)")
    plt.legend(['origin', 'first 5 sums'])
    plt.show()

ex5_3()

图像结果：

ex1-5-4.png

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