取整函数的性质取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数...

性质

a)当且仅当 x 为整数取等号: $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor+1, \quad x \leq\lceil x\rceil<x+1$

b)下取整函数为等幂运算:

\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor

c)对任意的整数 k 和任意实数 x :

\lfloor k+x\rfloor=k+\lfloor x\rfloor

d)一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x+0.5)

\lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor

f)对于整数 k 有:

\lfloor k / 2\rfloor+\lceil k / 2\rceil=k

对数与取整函数的关系

\lceil\log (x+1)\rceil=\lfloor\log x\rfloor+1, x \in Z, x \geqslant 1

证明：

$令\quad m=\lfloor\log x\rfloor$

$\therefore \quad m \leq \log x<m+1$

$\therefore \quad 2^{m} \leq x<2^{m+1}$

$\therefore \quad 2^{m}<x+1 \leq 2^{m+1}$

$又\because x \in Z$

$\therefore\quad m<\log (x+1) \leq m+1$

$\therefore\quad \lceil\log (x+1)\rceil=m+1=\lfloor\log x\rfloor+1$

向下取整与向上取整的转换方法

\lceil\frac{N}{M}\rceil=\left\lfloor\frac{N-1}{M}\right\rfloor+1(0<M \leq N, M, N \in Z)

证明

$\text { 不失一般性，我们设 } N=M k+r(0 \leq r<M, k \in Z) \text {, }$

$\text{1)当} r>0 \text{时}$

$\text { 左边: }\left \lceil \frac{N}{M} \right \rceil =\left \lceil \frac{(Mk+r)}{M} \right \rceil =k+\left \lceil\frac{r}{M} \right \rceil =k+1$

$\text { 右边: }\left \lfloor \frac{N-1}{M} \right \rfloor +1=\left\lfloor\frac{(\mathrm{M} k+\mathrm{r}-1)}{\mathrm{M}}\right\rfloor+1=\left\lfloor k+\frac{\mathrm{r}-1}{\mathrm{M}}\right\rfloor+1=k+1+\left\lfloor\frac{\mathrm{r}-1}{\mathrm{M}}\right\rfloor=k+1$

$\text{1)当} r=0 \text{时}$

$\text { 右边: }\left \lceil \frac{N}{M} \right \rceil =k$

$\text { 右边: }\left\lfloor\frac{\mathrm{N}-1}{\mathrm{M}}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{(\mathrm{M} k-1)}{\mathrm{M}}\right\rfloor+1=\lfloor(M(\mathrm{k}-1)+\mathrm{M}-1) / \mathrm{M}\rfloor+1=k+\left \lfloor \frac{M-1}{M} \right \rfloor =k$

$\text{命题得证.}$