leetcode_204 计数质数

要求

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

核心代码

class Solution:
    def countPrimes(self, n):
        if n < 3:
            return 0
        primes = [True] * n
        primes[0] = primes[1] = False
        for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
            if primes[i]:
                primes[i * i: n: i] = [False] * len(primes[i * i: n: i])
        return sum(primes)

解题思路：

西元前250年，希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法，减少了逐一检查每个数的步骤，可以比较简单的从一大堆数字之中，筛选出质数来，这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)。

具体操作：先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

其实，当你要画圈的素数的平方大于 n 时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了

从上面的厄拉多塞筛法可以看出，我们只需遍历[2,$\sqrt{2}$],因为超过$\sqrt{2}$部分如果不是素数，则作为因子在前面的数已经被删除了。同时这里利用了python里list的特性[ : : i]取i的倍数。