AcWing 122. 糖果传递

目录：算法日记

原题链接：122. 糖果传递 - AcWing题库

题目描述

有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有$a[i]$个糖果。

每人只能给左右两人传递糖果。

每人每次传递一个糖果代价为 $1$。

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$，表示小朋友的个数。

接下来 $n$ 行，每行一个整数 $a[i]$，表示第 $i$ 个小朋友初始得到的糖果的颗数。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1≤n≤1000000，0≤a[i]≤2×10^9$ 数据保证一定有解。

输入样例

4
1
2
5
4

输出样例

4

算法思路

为了方便描述，给定范围$0≤i<n$，设$x_i$为第$i$个小朋友给了第$i-1$个小朋友$x_i$颗糖果（即后面的小朋友给前面的小朋友糖果），$a_i$为第$i$个小朋友拥有的糖果数。

送糖果给另一个小朋友时，$x_i$为正数；从另一个小朋友收到糖果时，$x_i$为负数。这里由于题目中说明，每人每次传递一个糖果代价为 $1$，因此，当$x_i$作为糖果传递代价时始终为正数。最终的答案应为：$res=|x_0|+|x_1|+...+|x_{n-1}|$，问题转换为求$res$最小值。

题目保证一定有解，因此每个小朋友最终拥有的糖果数：$average=$ 糖果总数/小朋友总数。

对于第$0$个小朋友，他给了第$n-1$个小朋友$x_0$颗糖果，第$1$个小朋友给了他$x_1$颗糖果，因此，$average=a_0-x_0+x_1$（①）;

对于第$1$个小朋友，他给了第$0$个小朋友$x_1$颗糖果，第$2$个小朋友给了他$x_2$颗糖果，因此，$average=a_1-x_1+x_2$（②）;

对于第$2$个小朋友，他给了第$1$个小朋友$x_2$颗糖果，第$3$个小朋友给了他$x_3$颗糖果，因此，$average=a_2-x_2+x_3$（③）;

以此类推。

观察上述等式包含$n$个变量（$x_0,x_1...x_{n-1}$），考虑减少变量个数。其中，由①式可消去变量$x_1$，由②式可消去变量$x_2$，以此类推。故可尝试进行推导：

由①式得，

由②式得，

由③式得，

以此类推。

观察上述推导可以发现，

$|x_0-c_i|$的几何意义为，从$x_0$出发到$c_i$的距离。因此，原问题进一步转化为，求从$x_0$出发到$c_0,c_1...c_{n-1}$的距离和的最小值。

当$x_0$取值为数列$c_0,c_1...c_{n-1}$中位数时，存在最小值$res$。

tips：注意到$0≤a[i]≤2×10^9$，因此求和存在爆int的风险，需用long long。

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n;
int a[N];
int c[N];
int main() {
    cin>>n;
    long long sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin>>a[i];
        sum += a[i];
    }
    int ave = sum / n;
    c[0] = 0;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        c[i] = a[i-1] + c[i-1] - ave;
    }
    sort(c, c+n);
    long long res = 0;
    int mid = c[n/2];
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        res += abs(c[i] - mid);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}