1518. 换酒问题 :「模拟」&「数学」

题目描述

这是 LeetCode 上的 1518. 换酒问题 ，难度为 简单。

Tag : 「模拟」、「数学」

小区便利店正在促销，用 numExchange 个空酒瓶可以兑换一瓶新酒。你购入了 numBottles 瓶酒。

如果喝掉了酒瓶中的酒，那么酒瓶就会变成空的。

请你计算最多能喝到多少瓶酒。

示例 1：

输入：numBottles = 9, numExchange = 3

输出：13

解释：你可以用 3 个空酒瓶兑换 1 瓶酒。
所以最多能喝到 9 + 3 + 1 = 13 瓶酒。

示例 2：

输入：numBottles = 15, numExchange = 4

输出：19

解释：你可以用 4 个空酒瓶兑换 1 瓶酒。
所以最多能喝到 15 + 3 + 1 = 19 瓶酒。

示例 3：

输入：numBottles = 5, numExchange = 5

输出：6

示例 4：

输入：numBottles = 2, numExchange = 3

输出：2

提示：

• $1 <= numBottles <= 100$
• $2 <= numExchange <= 100$

模拟

根据题意进行模拟即可，使用 $ans$ 统计答案，$n$ 为空瓶子个数。

起始有 $n$ 瓶酒，因此 $ans = n$，此时空瓶子个数为 $n$，当且仅当空瓶子个数 $n$ 大于等于兑换个数 $m$ 时，可以继续喝到酒（能够更新 $ans$），兑换后得到酒的个数为 $a = \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$，剩余空瓶子个数等于「兑换酒的个数 $a$」和「兑换后剩余的酒瓶子个数 $b = n \pmod m$」之和。

代码：

class Solution {
    public int numWaterBottles(int n, int m) {
        int ans = n;
        while (n >= m) {
            int a = n / m, b = n % m;
            ans += a;
            n = a + b;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：循环次数「不超过」能换新酒的数量，能够新酒的数量最多为 $\left \lfloor \frac{n}{m - 1}\right \rfloor$ 瓶。复杂度为 $O(\left \lfloor \frac{n}{m - 1}\right \rfloor)$。进一步，当 $m = 2$ 时，兑换酒的数量最多，此时复杂度为 $O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

数学

起始有 $n$ 瓶酒，使用 $m$ 个空酒瓶能够换得一瓶新酒（饮用数量加一，且新瓶子数量加一）。即对于每次交换而言，会损失掉 $m - 1$ 个瓶子。

利用每个回合损失的瓶子个数 $m - 1$ 为定值，可直接算出最大交换次数（额外饮用次数）$cnt = \left \lfloor \frac{n}{m - 1}\right \rfloor$，加上起始酒的个数即是答案。

注意边界条件：当 $n$ 为 $m - 1$ 的倍数时，最后一个回合不满足兑换条件。

代码：

class Solution {
    public int numWaterBottles(int n, int m) {
        int cnt = n / (m  - 1);
        return n % (m - 1) == 0 ? n + cnt - 1 : n + cnt;
    }
}

• 时间复杂度：$O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1518 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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