一、 算法介绍
RSA加密算法
- 一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA 就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
OAEP 算法
- 费斯妥密码的一种形式，它使用一对随机预言 G 和 H 在进行非对称加密之前处理明文。OAEP 与任何安全的陷门单向置换f 结合使用在随机预言模型中被证明是一种在选择明文攻击（IND-CPA）下语义安全的组合方案。当使用某些陷门置换（如 RSA）实现时，OAEP 也被证明可以抵抗选择密文攻击。OAEP 可用于构建全有或全无转换（all-or-nothing transform）。OAEP 满足以下两个目标：1、添加随机性元素，这可用于将确定性加密方案（如传统 RSA）转变为概率加密方案。2、通过确保无法反转陷门单向置换 f，从而无法恢复明文的任何部分，来防止密文的部分解密（或造成其他信息泄漏）。当 OAEP 与任何陷门置换一起使用时，OAEP 的原始版本（Bellare/Rogaway, 1994）在随机预言机模型中显示了一种“明文知晓性”的形式（他们声称这意味着对选择密文攻击是安全的）。然而随后的结果与这一点相抵触，表明 OAEP 仅是 IND-CCA1 安全的。但是与 RSA-OAEP 的情况一样，当将OAEP与使用标准加密指数的 RSA 置换一起使用时，在随机预言模型中证明了原始方案是 IND-CCA2 安全的。[2]Victor Shoup 提供了一种改进的方案（称为 OAEP+），该方案可与任何陷门单向置换配合使用，以解决此问题。[3]近期的研究表明，在标准模型中（即当哈希函数未建模为随机预言时），无法在假定 RSA 问题的难度下证明 RSA-OAEP 具有 IND-CCA2 安全性。
ElGamal加密算法
- 一个基于迪菲-赫尔曼密钥交换的非对称加密算法。它在1985年由塔希尔·盖莫尔提出。GnuPG和PGP等很多密码学系统中都应用到了ElGamal算法。ElGamal加密算法可以定义在任何循环群G上。它的安全性取决于G上的离散对数难题。而在实际使用中，ElGamal加密系统通常应用在混合加密系统中。例如：用对称加密体制来加密消息，然后利用ElGamal加密算法传递密钥。这是因为在同等安全等级下，ElGamal加密算法作为一种非对称密码学系统，通常比对称加密体制要慢。对称加密算法的密钥和要传递的消息相比通常要短得多，所以相比之下使用ElGamal加密密钥然后用对称加密来加密任意长度的消息，这样要更快一些。
二、术语解释（RSA）
- 明文：真实的数据信息，包括但不限于文本、图片等数据类型。
- 密文：数据经过加密算法运算之后所生成的一组数据信息。
- 密钥：在加密的过程中自动生成的一个唯一的参数，也是解密的必须元素。
三、一些定理、性质以及函数库（RSA）
- 欧拉函数φ（n）指不超过n且与n互质的正整数的个数，其中n是一个正整数。性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数上的欧拉函数之积。
- 欧拉定理 若 n, a 为正整数，且 n, a 互素，则等式 a ^ φ(n) = 1 (mod n) 成立。
- 扩展欧几里得算法是对欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式 ax + by = gcd(a, b)。
- GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等。下文代码中使用的 gmpy2 正是python对 GMP 的封装版。
四、算法实现步骤（RSA）
- 随机选择两个 1024比特的不同秘密大素数p与q；
- 分别计算N = p * q和φ( N) = (p-1) * (q-1) 的值；
- 选择一个小于φ( N) 且与φ( N) 互素的正整数e；
- 计算e的乘法逆元d = e - 1(mod φ( N))；
- 利用数制转换将明文分组,使每组中明文m的取值范围在1至N-1之间；
- 执行加密运算c = m ^ e(mod N),将明文m加密成密文c；
- 执行解密运算m = c ^ d(mod N),将密文c恢复成明文m。
代码实现（RSA）
- 注：为了提高算法的执行效率，我们借助了 gmpy2 函数库。它提供的每个基础 API 都是经过精心优化的。相对于自己实现的 API 的速度要快很多。
import time
from time import sleep
from gmpy2 import gmpy2
def encrypt(p,q,e,m):
start = time.time()
sleep(1)
N = p * q
d = gmpy2.invert(e, (p - 1) * (q - 1))
c = gmpy2.powmod(m, e, N)
print('密文：', c)
print('明文：', gmpy2.powmod(c, d, N))
end = time.time()
print('耗时：',(end - start) * 1000 - 1000,'ms')
def decipher(p,q,e,m):
start = time.time()
sleep(1)
N = p * q
dp = gmpy2.invert(e,p - 1)
dq = gmpy2.invert(e,q - 1)
pq = gmpy2.invert(q,p)
c = gmpy2.powmod(m,e,N)
print('密文：',c)
m1 = gmpy2.powmod(c,dp,p)
m2 = gmpy2.powmod(c,dq,q)
h = gmpy2.f_mod(pq * gmpy2.f_mod((m1 - m2),p),p)
print('明文：',m2 + h * q)
end = time.time()\
print('耗时：',(end - start) * 1000 - 1000,'ms')\
p = gmpy2.getPrime(1024,randfunc=None)
q = gmpy2.getPrime(1024,randfunc=None)
e = 65537
m = input('输入明文信息m: ')
encrypt(p,q,e,m)
decipher(p,q,e,m)
