ACWing-331-干草堆

题意

输入一个数组是否可以分割为几个小段，使的这些小段之和单调不增。

解法

首先，我们将区间整个翻转，那么原题中的单调不增则变为单调不减。

我们记录答案为F(i , j) 表示最后一段是区间 (j , i] 的最大高度。由此，我们得到状态转移方程

F(i , j) = \max\limits_{k<j<i,S_i-S_j>=S_{j-1}-S_{k}} \{F(j,k)+1\}

枚举这个区间的复杂度大约为 $O(N^3)$

记录 top[i] 为最后一段选择 (j, i] 时候最上面一层的宽度。那么因此我们的答案可以变为如下的状态转移的方程。

F(i)=\max\limits_{i<j,S_i-S_j>= top[j]} F(j)+1

那么对于一些满足是我们当前最优高度的 j 我们希望 top[i] 越小越好，因此我们的 j 也就是越大越优。由于我们的条件 S[i]-S[j]>=top[j] ==> S[i]>=S[j]+top[j] 因此我们只需要找到最大的 j 即可。那么我们的方程得到了初步的化简。时间复杂度最坏的情况为 $O(N^2)$

for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
    int j ;
    for (j = i - 1 ; j != -1 ; j -- )    /*1*/
        if(S[i] >= S[j] + top[j]) break; /*2*/
    F[i] = F[j] + 1;
    top[i] = S[i] - S[j];
}

当然，数据太水了，这个甚至能过。hhhhh，结尾贴一下完整的代码。

我们不妨再仔细观察一下上面的代码，我们发现 1、2 号语句中终止的条件为第一个 S[i]>=S[j]+top[j] 不妨思考一下，是不是我们可以维护一个东西让这个里面永远存下当前的最小的 S[j]+top[j] 呢。OK，那么我们这个可以使用单调队列来维护该最小值。

q[0] = 0;
for (int i = 1, head = 0, tail = 0; i <= n; i++) {
    while (head <= tail && S[q[head]] + top[head] <= S[i]) head++;
    // -- 最后弹出对列的数，就是最符合 S[i] >= S[j] + top[j]
    // -- 因为我们把最符合条件的都弹走了嘛 ~ 
    // -- 是因为 S[i] 是单增的所有我们就可以放心大胆的弹。
    F[i] = F[q[head - 1]] + 1;
    top[i] = S[i] - S[q[head - 1]];
    while (head <= tail && S[q[tail]] + top[q[tail]] >= S[i] + top[i]) tail--;
    q[++tail] = i;
}

那么答案，如下

$O(N)$

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    using LL = long long;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n;
    cin >> n;

    vector<LL> S(n + 1), q(n + 1), F(n + 1), top(n + 1);
    S[0] = q[0] = F[0] = top[0] = 0;

    for (int i = n; i >= 1; i--) cin >> S[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) S[i] += S[i - 1];

    q[0] = 0;
    for (int i = 1, head = 0, tail = 0; i <= n; i++) {
        while (head <= tail && S[q[head]] + top[q[head]] <= S[i]) head++;
        F[i] = F[q[head - 1]] + 1;
        top[i] = S[i] - S[q[head - 1]];
        while (head <= tail && S[q[tail]] + top[q[tail]] >= S[i] + top[i])
            tail--;
        q[++tail] = i;
    }

    cout << F[n] << '\n';

    return 0;
}

$O(N^2)$

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    using LL = long long;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n;
    cin >> n;

    vector<LL> S(n + 1), q(n + 1), F(n + 1), top(n + 1);
    S[0] = q[0] = F[0] = top[0] = 0;

    for (int i = n; i >= 1; i--) cin >> S[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) S[i] += S[i - 1];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j;
        for (j = i - 1; j != -1; j--)
            if (S[i] >= S[j] + top[j]) break;
        F[i] = F[j] + 1;
        top[i] = S[i] - S[j];
    }

    cout << F[n] << '\n';

    return 0;
}

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