莫比乌斯反演由【莫比乌斯函数】及部分基础【数论知识】到【莫比乌斯反演公式】的学习

莫比乌斯函数

\mu(n)= \begin{cases} 1& \text{n为偶数个不同素因子乘积}\\ 0& \text{其余情况}\\ 1& \text{n为奇数个不同素因子乘积} \end{cases}

时间复杂度：O(n)

\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1& \text{n = 1}\\ 0& \text{n$\neq$1} \end{cases}

d|n 表示 d能整除n

例如，当n = 6时, d 为 1、2、3、6，对应 $\mu(d)$ 分别为1、-1、-1、1，和为0

为一种运算规则， $l*g=\sum_{d|n}l(d)*g(\frac nd)$

前面的 $l*g$ 中的 $*$ 代表卷积，后面的 $l(d)*g(\frac nd)$ 中的 $*$ 代表乘法

因为 $d$ 和 $\frac nd$ 成对出现，集合相同，可互换

所以 $\sum_{d|n}l(d)*g(\frac nd) = \sum_{d|n}l(\frac nd)*g(d) = g * l$

$\epsilon(n) = 1 (n == 1)$

$f * f^{-1} = \epsilon$

其中 1 代表传入任何值输出都为1的函数

如果 $F(n) = \sum_{d|n}f(d)$ , 则 $f(n) = \sum_{d|n}\mu(d)F(\frac nd)$