剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
题目描述
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
思路
- 题意分析：题中规定起点是左上，终点是右下，且只能向右或向下移动。可抽象为求一个最长的路径的问题。棋盘中每一个点到起始点都存在一个最长路径，由于移动方向的限定，可以发现下一个点的最长路径和上一个点（左一个点）的最长路径存在包含关系，由此可得到状态转移方程，此题为一个二维动态规划题。
- 状态转移方程：左边和上边的最长路径挑一个最大的相加。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] - dp数组初始化：当在数组边界时（即i=0&j!=0 或 i!=0&j=0)状态转移方程计算中会存在数组越界情况，初始化时得把数组边界先计算好。
- 发散思路：抽象为图，用图论中的知识解决（todo）
参考代码
class Solution:
def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
# dp[i][j]为grid[i][j]到起始点(grid[0][0])的最长路径
# 初始化dp数组 n行m列
n, m = len(grid), len(grid[0])
dp = [[0] * m for _ in range(n)]
count = 0
# 初始化左边界
for i in range(n):
count += grid[i][0]
dp[i][0] = count
count = 0
# 初始化上边界
for j in range(m):
count += grid[0][j]
dp[0][j] = count
for i in range(1, n):
for j in range(1, m):
# 状态转移方程
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
return dp[n-1][m-1]
