快速幂(fast power)

定义

快速幂也称为平方求幂(exponentiating squaring)就是快速算底数的正整数n次幂的方法。其时间复杂度为 $O(logn)$

幂的计算

在开始讲快速幂之前我们先来想一下，如果要你计算 $a^b$ ,你要如何计算呢？

我们一般的做法是，把a乘自身b次。

代码实现为

/**
 * 
 * @param {integer}} a 底数
 * @param {integer} b 指数
 */
function iterativePower(a, b) {
	let result = 1;
	while (b>0) {
		result *=a;
		b--;
	}
	return result;
}

这个方法的时间复杂度为O(N),N 为指数，也就是上面例子中的b

那么我们有没有更高效的方法来解决这个问题呢?

答案是有的也就是我们今天学习的方法，快速幂。这在指数比较大的时候非常有用。例如在矩阵幂，密码学中都有很好的运用。

快速幂基本方法

改方法是基于观察到，对于正整数n，我们有

x^n = \begin{cases} x(x^2)^{\frac{n-1}{2}}, 如果n是奇数\\ (x^2)^{\frac{n}{2}}， 如果n是偶数\\ \end{cases}

该方法使用指数的位（二进制的位，即bit,下文称为”位”）来确定计算哪些幂。

举个例子，如果我们计算 $x^{13}$ 。幂指数13的二进制为1101。这些位按照从左到右的顺序使用。指数有4位，所以我们进行4次迭代。

首先，我们将结果result初始化为1.

$r\leftarrow r^2(=x^0)$ , 第一位 = 1，所以计算 $r\leftarrow r*x(= x^1)$ 。
$r\leftarrow r^2(=x^2)$ , 第二位 = 1，所以计算 $r\leftarrow r*x(= x^3)$ 。
$r\leftarrow r^2(=x^6)$ , 第三位 = 0，所以这一步不用计算。
$r\leftarrow r^2(=x^{12})$ , 第四位 = 1，所以计算 $r\leftarrow r*x(= x^{13})$ 。

在数学中 $\leftarrow$ 相当于左边可以根据右边推导出来的意思。

下面给出快速幂的代码

递归版

/**
 *
 * @param {integer}} a 底数
 * @param {integer} b 指数
 */
function fastPower1(a, b) {
  if ((b === 0)) return 1
  if ((b === 1)) return a;
  if (b % 2 === 0) return fastPower1(a * a, b / 2)
  if (b % 2 !== 0) return a * fastPower1(a * a, (b - 1) / 2)
}

尾递归版

递归的增强版，不用再调用栈中保存计算过程中的变量，视为递归的增强版。

function exp_by_squaring(x, n) {
  return exp_by_squaring2(1, x, n);
}
function exp_by_squaring2(y, x, n) {
  if (n === 0) return y;
  if (n === 1) return x * y;
  if (n % 2 === 0) return exp_by_squaring2(y, x * x, n / 2);
  if (n % 2 === 1) return exp_by_squaring2(x * y, x * x, (n - 1) >> 1);
}

迭代版

可以用递归实现的我们都可以用迭代来做，性能上是好的，就是没递归好理解

function exp_by_squaring_iterative(x, n) {
  let y = 1;
  if (n === 0) return 1;
  while (n > 1) {
    if (n % 2 === 0) {
      x *= x;
      n /= 2;
    } else {
      y *= x;
      x *= x;
      n = (n - 1) >> 1;
    }
  }
  return x * y;
}

位运算优化版

这个版本是根据 n&1能获取到n的末尾是否为1的性质来进行奇偶性的判断。

function quickPow(a, n) {
  let base = a,
    res = 1;

  while (n) {
    if (n & 1) {
      res *= base;
    }
    base *= base;
    n >>= 1;
  }
  return res;
}

索引

Exponentiation by squaring

快速幂

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快速幂(fast power)

定义

幂的计算

快速幂基本方法

递归版

尾递归版

迭代版

位运算优化版

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