详述 Bresenham 线生成算法给定直线的起始点和结束点，在显示设备上绘制该线段是计算机图形学中最基本的操作之一。本

给定直线的起始点和结束点，在显示设备上绘制该线段是计算机图形学中最基本的操作之一。本文将介绍的 Bresenham Line Drawing Algorithm 即为执行该操作的其中一个较为优化的算法。

计算机显示设备是由一个个像素组成的，该算法的目的即为“点亮”由起始像素点 $(x_0, x_0)$ 至结束像素点 $(x_1, y_1)$ 的线段上的像素点，当分辨率足够大，像素点足够小，看起来就会像一条直线。

举例：

example

为简化后续讨论，设置如下限定条件：

起始点在结束点左下方；
$x_0<x_1$ 且 $y_0<=y_1$ ；
线段的斜率 $0\le k\le 1$ ；
对于区间 $[x_0,x_1]$ 内的所有 $x$ ，该位置仅存在一个像素点。

设置以上限定条件之后，我们可以得到一个十分粗糙的算法：

def easyway(x0,y0,x1,y1):
  m = (y2-y1)/(x2-x1)
  for x in range(x0, x1+1, 1):
    # find y (integer)
    y = round(mx+b)
    colorify(x,y)

该算法是可行的，但在循环的每一步都需要计算 $mx+b$ ，执行速度较慢，因此，我们需要寻找一个快速得到 $y$ 值的方法。

推导

由于线段的斜率在0到1之间，因此对于点 $(x_k,y_k)$ ，下个点只可能是 $(x_k+1,y_k)$ 或 $(x_k+1,y_k+1)$ ，其中 $k$ 表示横坐标 $x$ 移动的次数，如图所示。

next point

因此，我们需要从 $y_k$ 和 $y_k+1$ 中获取离线段较近的值，假设直线方程为 $y = mx + b$ ，设 $y$ 为直线上实际的值， $d_1(k)$ 和 $d_2(k)$ 分别为距离 $y_k$ 和 $y_k+1$ 的距离，则有：

y = m(x_k+1)+b \\ d_1(k) = y-y_k \\ d_2(k) = (y_k+1) - y

比较 $d_1(k)$ 和 $d_2(k)$ 的值，即可判断下个点的具体位置：

若 $d_1(k) \le d_2(k)$ ，认为下个点应为 $(x_k+1, y_k)$
反之，认为下个点应为 $(x_k+1, y_k+1)$

因此，我们只需要判断 $d_1(k) - d_2(k)$ 的正负性即可：

\begin{aligned} d_1(k) - d_2(k) &= (y-y_k) - ((y_k+1)-y) \\ & = 2y - y_k - y_k -1 \\ & = 2(m(x_k+1)+b) - 2y_k - 1 \\ & = 2m(x_k+1) - 2y_k + 2b - 1 \\ \end{aligned}

同时，我们有：

$b = y_0 - mx_0$

$m = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{dy}{dx}$

因此，进一步简化得到：

\begin{aligned} d_1(k) - d_2(k) &= 2\frac{dy}{dx}(x_k+1) - 2y_k+2(y_0-\frac{dy}{dx}x_0) -1 \\ &=2\frac{dy}{dx}x_k-2y_k+c \end{aligned}

其中 $c = 2\frac{dy}{dx}+2y_0-2\frac{dy}{dx}-1$ 。

设 $p(k) = d_1(k) - d_2(k)$ ，则:

\begin{aligned} p(0) &= d_1(0)-d_2(0) \\ & = 2\frac{dy}{dx}(x_0+1)-2y_0+2(y_0-\frac{dy}{dx}x_0)-1 \\ & = 2\frac{dy}{dx}-1 \end{aligned}

对 $p(k+1)$ 推导如下：

\begin{aligned} p(k+1) &= 2\frac{dy}{dx}x_{k+1}-2y_{k+1}+c\\ &= 2\frac{dy}{dx}(x_k+1)-2y_{k+1}+c \end{aligned}

所以：

\begin{aligned} p(k+1) - p(k) & = 2\frac{dy}{dx} - 2(y_{k+1}-y_k) \end{aligned}

因此：

当 $p_k \le 0$ 即 $d_1(k) \le d_2(k)$ 时， $y_{k+1} = y_k$ ，则 $p(k+1) = p(k)+2\frac{dy}{dx}$
反之， $p(k+1) = p(k) + 2\frac{dy}{dx}-2$

因此，综合以上，我们的代码即为:

def pk(x0,y0,x1,y1):
  dy = y1-y0
  dx = x1-x0
  p = 2*dy/dx - 1

  base_increment = 2*dy/dx
  colorify(x0,y0)
  while x0 <= x1:
    x0 += 1
    if p > 0:
      y0 += 1
      p -= 2
    p += base_increment
    colorify(x0,y0)

整数化

上述算法仍然涉及浮点数的计算，下面我们考虑如何彻底取消浮点相关操作。

观察 $p(k)$ 的表达式，涉及浮点操作的仅为 $\frac{dy}{dx}$ ，因此，考虑将等式两侧同乘 $dx$ ，注意 $dx>0$ ，因此 $P(k)$ 与 $p(k)$ 正负性相同，有：

P(k) = dx * p(k) = 2dy * x_k-2dx * y_k+c \\ P(0) = 2dy - dx \\ P(k+1)-P(k) = 2dy - 2dx*(y_{k+1}-y_k)

同样的：

当 $P_k \le 0$ 即 $d_1(k) \le d_2(k)$ 时， $y_{k+1} = y_k$ ，则 $P(k+1) = P(k)+2dy$
反之， $P(k+1) = P(k) + 2dy-2dx$

代码即变为：

def pk(x0,y0,x1,y1):
  dy = y1-y0
  dx = x1-x0
  p = 2*dy - dx

  base_increment = 2*dy
  colorify(x0,y0)
  while x0 <= x1:
    x0 += 1
    if p > 0:
      y0 += 1
      p -= 2*dx
    
    p += base_increment
    colorify(x0,y0)

一般化

之前的讨论是基于文首给出的限定条件的：

起始点在结束点左下方；
$x_0<x_1$ 且 $y_0<=y_1$ ；
线段的斜率 $0\le k\le 1$ ；
对于区间 $[x_0,x_1]$ 内的所有 $x$ ，该位置仅存在一个像素点。

下面我们将该算法一般化。

垂直线

当 $x_0 = x_1$ 时，线段的斜率不存在，此时只需要使纵坐标 $y$ 每次递增单位长度，然后染色即可。

if dx == 0:
  while y1!=y2:
    y1 += stepy
    colorify(x1,y1)

dy<0, dx<0

当 dy<0 时，如下图：

dy<0

此时我们将点 $(x_1,y_1)$ 映射为 $(x_1,y_1')$ ，其中虚线为两条线段的垂直平分线，那么 $y_1'-y_0 = y_0 - y_1$ ，接着我们对虚线上侧的线段按上述算法计算需要绘制的点即可，但在实际绘制时，对需要递增 $y$ 的情况，我们递减 $y$ ，则可以对称的绘制出原需要绘制的直线。

同理，当 dx < 0 时，如下图：

dx<0

同样的，此时我们将点 $(x_1,y_1)$ 映射为 $(x_1',y_1)$ ，其中虚线为两条线段的垂直平分线，那么 $x_1'-x_0 = x_0 - x_1$ ，接着我们对虚线右侧的线段按上述算法计算需要绘制的点即可，但在实际绘制时，对需要递增 $x$ 的情况，我们递减 $x$ ，则可以对称的绘制出原需要绘制的直线。

当 dx 和 dy 均小于0时，需要对原线段作两次变换。

dx = x1-x0
dy = y1-y0
if dy < 0:
    dy = -dy
    stepy = -1
else:
    stepy = 1

if dx < 0:
    dx = -dx
    stepx = -1
else:
    stepx = 1

#  ....

while x0 != x1:
    x0 += stepx

    if p >= 0:
        y0 += stepy
        # ....
    
    # ....

# ....

m > 1

当直线斜率大于 1 时，即 dy>dx，原直线方程为 $y=mx+b$ ，可以变换为 $x = \frac{1}{m}y-\frac{b}{m}$ ，则 $\frac{1}{m} < 1$ ，因此只需要对该新直线应用上述算法即可。

Put it together

def bresenham(p1,p2):
    x0, y0 = p1
    x1, y1 = p2
    dx = x1-x0
    dy = y1-y0
    if dy < 0:
        dy = -dy
        stepy = -1
    else:
        stepy = 1

    if dx < 0:
        dx = -dx
        stepx = -1
    else:
        stepx = 1
    dy <<= 1
    dx <<= 1
    colorify(x0, y0)
    if dx == 0:
        while y0 != y1:
            y0 += stepy
            colorify(x0, y0)
    if dx > dy:
        fraction = dy-(dx >> 1)
        while x0 != x1:
            x0 += stepx

            if fraction >= 0:
                y0 += stepy
                fraction -= dx

            fraction += dy
            colorify(x0, y0)
    else:
        fraction = dx - (dy >> 1)
        while y0 != y1:
            if fraction >= 0:
                x0 += stepx
                fraction -= dy
            y0 += stepy
            fraction += dx
            colorify(x0, y0)