KMP

什么是KMP

由Knuth，Morris，pratt发明的一种模式匹配算法，可以大大避免重复遍历的情况，成为KMP算法。

前缀表

前缀： 包含首字母不包含尾字母的所有子串。
后缀： 包含尾字母不包含首字母的所有字串。
为什么要介绍前缀表和前缀呢？事实上，next数组就是一个前缀表。
前缀表的作用： 用来回退，它记录了当模式串与主串不匹配的时候，模式串应该重新匹配的位置。
前缀表： 记录下标i之前（包括i）的字符串中，最大相等前后缀的长度。
最大相同前后缀： 长度最长且前后缀相同的子串。

如何计算前缀表

对于模式串 a a b a a f
"a" 最长相同前后缀长度为0(只有一个字符，而满足有前缀后缀至少需要两个字符)。
"a a" ----------------为1.
"a a b"---------------为0.（尾字母为b，除了尾字母没有b，前后缀不可能相同）。
同理，"a a b a" , "a a b a a" , "a a b a a f"最长相同前后缀长度分别为1，2，0.所以该模式串的前缀表为

计算出前缀表之后，观察字符串下标与相应前缀表对应位置的数字大小的关系：下标i（包括i）的字符串中最大相同前后缀的长度。

如何应用前缀表找到回退位置

当匹配的字符不同时，前一个字符的前缀表的数值，回退到那个位置重新开始匹配。

如上图所示，模式串与文本串匹配到f时不同，模式串指针回退到下标2（前一个字符对应的前缀表的值）处重新开始匹配。

前缀表与next数组

前面介绍到前缀表可以就是说时next数组，但next数组既可以是前缀表，也可以是前缀表-1，原理相同，只是实现的细节不一样。

构造next数组

构造next数组分为3步。
1.初始化
定义两个指针i（指向后缀起始位置），j（指向前缀起始位置）。再对next数组进行初始化赋值。

int j = -1;      //初始化为-1是前缀表统一减一的结果。
next[0] = j;

2.处理前后缀不相同的情况
因为j初始化为-1，令i=1，开始s[i]与s[j+1]的比较。（此时j+1==0）从i=1开始遍历，遇到s[i]与s[j+1]不相同的情况，即前后缀末尾不相同时，就要向前回退。

for(int i = 1;i<len;i++)
{
    while(j>=0 && s[i] != s[j+1])
    {
        j = next[j];     //比较的时j+1，j+1前一个就是j
    }
}

3.处理前后缀相同的情况
如果s[i]与s[j+1]相同，直接后移。并更新next数组。

if(s[i] == s[j+1])
{
    j++;
}
next[i] = j;      //j同时也表示i之前（包括i）最长相同前后缀的长度。

j为什么还可以表示最大相同前后缀的长度呢？
j初始化为-1，在对i=1与j+1比较之后j++为0，正好是一个字符的最大相同前后缀的长度，后面同理。
最后构建next数组整体代码如下

void getNext(int* next,string s)
{
    int j = -1;
    next[0] = j;
    for(int i = 1; i<len;i++)    //len为长度(此处未定义)
    {
        while(j >= 0 && s[i] != s[j+1])
        {
            j = next[j];
        }
        if(s[i] == s[j+1])
            j++;
         next[i] = j;
    }
}

利用next数组进行匹配

在文本串s中寻找模式串t。首先定义两个下标i，j。（i指向模式串起始位置，j依然初始化为-1）为什么j初始化为-1？next记录的起始位置为-1。i从零开始，遍历文本串。

for(int i = 0;i<len;i++)

接下来比较s[i]与s[j+1]，（大致与构建next数组相同，只是构建next数组时在一个字符串，而匹配是在两个字符串之间）

while(j>=0 && s[i] != s[j+1])
   {
       j = next[j];
   }
if(s[i] == s[j+1])
    j++;
    

如果j与len-1相等时，说明匹配成功返回文本串中出现模式串的第一个位置。即当前位置i-模式串长度+1；

if(j == len-1)
{
    return i-len+1;
}

整体代码如下：

int j = -1;
for(int i = 0;i<len;i++)
{
    while(j>=0&&s[i]！=s[j+1])
   {
   j=next[j];
   }
   if(s[i]==s[j+1])
       j++;
    if（j == len-1）
        return i-len+1;
}

PS

next的数组还可以改进，称为nextval数组，感兴趣可以自己了解。