Rust 光线追踪 03: 渲染一个圆

下面的公式有点多，只是把原教程中的公式详细展开了，一步一步来，很简单，相信我。

给定一个点，判断一个点是否在一个半径为 $R$ 的圆或者圆外、圆内，我们可以使用下面的公式来判断。这里假设圆心在 $(0，0，0)$ 点，半径为 $R$

如果一个点 $(x, y, z)$ 在圆上，则 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

如果一个点 $(x, y, z)$ 在圆内，则 $x^2 + y^2 + z^2 < R^2$

如果一个点 $(x, y, z)$ 在圆外，则 $x^2 + y^2 + z^2 > R^2$

假设圆心在点 $C = (C_x, C_y, C_z)$，半径为 r，则根据上面的第一个公式，可以得到

$(x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 + (z - C_z)^2 = r^2$

我们可以将点 $(x, y, z)$ 使用之前的 Vec3 向量表示，例如设 $点P = (x, y, z)$，则可以将上面的公式，换一种表达形式，也就是

$(P - C) \cdot (P - C) = r^2$

还记得我们的光线公式吗？$P(t) = A + tb$，A是光线的起点，b是光线的方向，t是一个缩放参数，而得到的 $P(t)$ 则是光线打到的点。我们想知道一条光线所打到的点，是否在圆上或者圆内。是不是只要将光线公式，代入上面的公式，就可以了？也就是将原来的点P，换成了光线函数 P(t)，就会得到下面的公式

$(P(t) - C) \cdot (P(t) - C) = r^2$

由于 $P(t) = A + tb$，所以我们展开上面的公式，可以得到

$(A + tb - C) \cdot (A + tb - C) = r^2$

而上面的公式，又可以换成另一种表达形式

$(A + tb - C)^2 = r^2$

这个公式就是我们以前很熟悉的 $(a + b - c)^2$ 的形式，展开形式就是 $a^2 + 2ab - 2ac + b^2 - 2bc + c^2$

那么，我们将公式 $(A + tb - C)^2 = r^2$ 用同样的方式展开，则可以得到

$A^2 + 2Atb - 2AC + (tb)^2 - 2tbC + C^2 = r^2$

整理一下，我们可以看出，上面的第1项、第3项、第6项，可以组合到一起组成一个公式，也就是 $A^2 - 2AC + C^2 = (A - C) \cdot (A - C)$，修改上面的式子，可以得到

$2Atb + (tb)^2 - 2tbC + (A - C) \cdot (A - C) = r^2$

上面的式子中 $2Atb$ 和 $2tbC$ 都有一个 $2tb$，可以组合一下，得到 $2tb \cdot (A - C)$，用这种形式修改上面的公式，得到

$(tb)^2 + 2tb \cdot (A - C) + (A - C) \cdot (A - C) = r^2$

而 $(tb)^2$ 可以换成一种形式，表示成 $t^2 \cdot b^2$，再换一种形式可以为 $t^2b \cdot b$，用这种形式修改上面的公式，可以得到最终的公式如下

$t^2b \cdot b + 2tb \cdot (A - C) + (A - C) \cdot (A - C) = r^2$

将 $r^2$ 移到公式左边，可以得到

$t^2b \cdot b + 2tb \cdot (A - C) + (A - C) \cdot (A - C) - r^2 = 0$

这就是最终的公式了，为什么要绕这么多换成这样一个形式呢，我猜作者是为了计算方便，写代码方便。

对于上面的公式，我们已经知道 A 是光线的起点，C 是圆心，而 b 是光线的方向，r 是圆的半径，唯一不知道的变量就是 t，而上面的方程，是一个一元二次方程，根据上学时学的知识，我们知道一元二次方程的解，可能有0个，1个，或2个。对于上面公式，也就是我们渲染圆的目标而已，只要有 > 0 个解，则说明光线打到了圆。

接下来还没完，我们如何知道上面的公式解的个数呢？根据一元二次方程的形式

$ax^2 + bx + c = 0$

它的根可以表示为 $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

对于上面公式中的 $b^2 - 4ac$，如果结果大于 0，则方程有两个不相等的实数根，等于 0，则方程有两个相等的实数根，小于 0，则方程无实数根。

所以，我们只需要将之前的公式

$t^2b \cdot b + 2tb \cdot (A - C) + (A - C) \cdot (A - C) - r^2 = 0$

表示成

$ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，则可以很方便的知道方程有几个解。

对于我们而言，上面的公式，除了 $t$ 之外，其他的变量都是已知道的，我们直接在代码中去转换。这次的代码沿用上一小节的，然后在 main.rs 中添加一个函数 hit_sphere

fn hit_sphere(center: Vec3, radius: f64, r: Ray) -> bool {
    // 公式中的 （A - C)
    let oc = r.origin - center;

    // 公式中第1项的 b*b
    let a = Vec3::dot(r.direction, r.direction);

    // 公式中第2项的内容，忽略 t
    let b = 2.0 * Vec3::dot(oc, r.direction);

    // 公式中的 (A - C) * (A - C) - r^2
    let c = Vec3::dot(oc, oc) - radius * radius;

    // 计算出了 a, b, c，判断 b^2 - 4ac 解的个数
    let result = b * b - 4.0 * a * c;

    // 解的个数 >= 0，则打到了圆
    return result >= 0.0;
}

然后在 ray_color 函数中添加是否打到圆的判断，如果打到了圆，我们就返回当前像素为红色

fn ray_color(r: Ray) -> Color {
    if hit_sphere(Vec3::new(0.0, 0.0, -1.0), 0.5, r) {
        return Color::new(1.0, 0.0, 0.0);
    }

    // 将光线的方向标准化，保证其值在 -1 到 1 之间
    let unit_direction = Vec3::unit_vector(r.direction);

    // 为了计算方便，我们将方向的 y 值，从 [-1,1] 映射到 [0, 1]
    let t = 0.5 * (unit_direction.y + 1.0);

    // 做一个蓝白渐变，当 t 为 0 时，就是白色，将 t 为 1 时，就是蓝色
    return (1.0 - t) * Color::one() + t * Color::new(0.5, 0.7, 1.0);
}

cargo run > sphere.ppm 最终效果图如下

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