红黑树2021年限量高清重置版

长烟
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红黑树的五个性质：

  1. 每个结点是红的或者黑的
  2. 根结点是黑的
  3. 每个叶子结点是黑的
  4. 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的
  5. 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上的 包含相同数目的黑结点 平衡的定义是说从空链接到根节点距离相等，此处一定要用心理解。（也就是说非叶子节点是不会存在空链接的

节点定义

#define RED			1
#define BLACK 			2
typedef int KEY_TYPE;
typedef struct _rbtree_node {

	//红红黑树性质
	unsigned char color;
	struct _rbtree_node* right;
	struct _rbtree_node* left;
	struct _rbtree_node* parent;

	KEY_TYPE key;
	
	//value
	void* value;
} rbtree_node;

typedef struct _rbtree {
	rbtree_node* root;
	rbtree_node* nil;//哨兵节点
	//所有叶子节点都隐藏，并且都设置为黑色
	//空节点无颜色，叶子节点有颜色
} rbtree;

rbtree_node* nil;//哨兵节点 因为红黑树的所有叶子节点都隐藏，并且都设置为黑色，因此可以用一个nil统一代表所有的叶子节点 nil节点与NULL不能等同，NULL没有颜色，但是nil节点有颜色

左旋和右旋

左旋rotate 涉及到三个方向，六个指针的改变，

  1. 先将x与b相互指向对方
  2. 再将x的父亲节点与y节点相互指向对方
  3. 再将x与y的方向修改
//左旋是以当前节点自己进行下沉
void rbtree_left_rotate(rbtree* T, rbtree_node* x) {

	if (x == T->nil)return;

	rbtree_node* y = x->right;//y节点

	//1 x--b
	x->right = y->left;
	if (y->left != T->nil) {
		y->left->parent = x;
	}

	//2 x.parent--y
	y->parent = x->parent;
	if (x->parent == T->nil) {//x为根节点
		T->root = y;
	}
	else if (x == x->parent->left) {
		x->parent->left = y;
	}
	else {
		x->parent->right = y;
	}

	//3  x--y
	y->left = x;
	x->parent = y;
}

右旋的代码仅需将上述的x改为y，y改为x即可实现

插入节点

在插入节点以前就是一棵红黑树，插入一个节点是红的更容易满足红黑树的性质，插入后当前节点是红色的，父节点也是红色的，只可能违背性质4（如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的 ）

void rbtree_insert(rbtree *T, rbtree_node *z) {

	rbtree_node *y = T->nil;
	rbtree_node *x = T->root;

	while (x != T->nil) {
		y = x;
		if (z->key < x->key) {
			x = x->left;
		} else if (z->key > x->key) {
			x = x->right;
		} else { //Exist
			return ;
		}
	}

	z->parent = y;
	if (y == T->nil) {
		T->root = z;
	} else if (z->key < y->key) {
		y->left = z;
	} else {
		y->right = z;
	}

	z->left = T->nil;
	z->right = T->nil;
	z->color = RED;

	rbtree_insert_fixup(T, z);
}

先是一个while循环找到应该插入的位置，while循环结束x必定为nil节点，因此借助一个临时变量y节点存储插入节点的父节点，找到位置后依据大小将要插入的z节点插入的适当位置，并且将z置为red。再对上述操作进行颜色的修正，而修正函数在如下给出。

插入修正函数

void rbtree_insert_fixup(rbtree *T, rbtree_node *z) {

	while (z->parent->color == RED) { //z ---> RED
		if (z->parent == z->parent->parent->left) {
			rbtree_node *y = z->parent->parent->right;//叔结点
			if (y->color == RED) {//叔结点是红色的
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;

				z = z->parent->parent; //z --> RED
			} else {

				if (z == z->parent->right) {
					z = z->parent;
					rbtree_left_rotate(T, z);
				}

				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				rbtree_right_rotate(T, z->parent->parent);
			}
		}else {
			rbtree_node *y = z->parent->parent->left;
			if (y->color == RED) {
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;

				z = z->parent->parent; //z --> RED
			} else {
				if (z == z->parent->left) {
					z = z->parent;
					rbtree_right_rotate(T, z);
				}

				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				rbtree_left_rotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		
	}

	T->root->color = BLACK;
}

这个过程是一个迭代过程，是自下而上的层层调整，因此需要一个while循环，不论什么时候z节点始终扣住自下而上的那条遍历线路，颜色始终是红色的，z节点调整完之后会变为上层的节点直到根节点也调整完为止

rbtree_node *y = z->parent->parent->right;//叔结点
if (y->color == RED) {//叔结点是红色的
	z->parent->color = BLACK;
	y->color = BLACK;
	z->parent->parent->color = RED;
        z = z->parent->parent; //z --> RED
}

z = z->parent->parent;这是迭代的关键语句

观察第一幅图，叔父y节点的黑高是2，与其他线的黑高不匹配，因此先对z的父节点123进行左旋变为右侧第二幅图，

if (z == z->parent->left) {
	z = z->parent;
	rbtree_right_rotate(T, z);
}

但是这个时候树高度不平衡了，因此要继续修正，先将z父节点置为黑色，z祖父节点置为红色，在对z的祖父节点右旋即可达到平衡

z->parent->color = BLACK;
z->parent->parent->color = RED;
rbtree_left_rotate(T, z->parent->parent);

以上就是需要修正的3种情况

删除节点

将结点 z 从二叉查找树 T 中删除共有如下三种情况，其中一种有一点难懂。

  • 如果结点 z 没有孩子结点，我们就可以直接使用 NIL 来代替该结点。
  • 如果结点 z 只有一个子女，可以直接用结点 z 的孩子结点替代 z 。
  • 如果结点 z 有两个子女，首先要找到结点 z 的后继 y （它一定在 z 的右子树中），并用 y 替代 z 在树中的位置。

TREE-DELETE 过程用于从二叉查找树 T 中删除一个给定的结点 z ，它按如下四种情况组织代码。

  • 如果结点 z 没有左孩子，那么我们用右孩子替换 z ，其中右孩子可能为 NIL 。右孩子为 NIL 即结点 z 没有孩子结点的情况。(图a)

  • 如果结点 z 有且只有左孩子，那么就用左孩子替代结点 z 。(图b)

  • 否则，结点 z 有两个子结点。首先找到 z 的后继结点 y ，它位于 z 的右子树且没有左孩子。这里我们打算用 y 替换 z 。

    • 如果 y 是 z 的右孩子，那么直接用 y 替换 z 。(图C)
    • 否则，用 y 自己的右孩子替换 y ，再用 y 来替换 z 。(图d)

image.png

1. rbtree_node *rbtree_delete(rbtree *T, rbtree_node *z) {
2. 
3. 	rbtree_node *y = T->nil;
4. 	rbtree_node *x = T->nil;
5. 
6. 	if ((z->left == T->nil) || (z->right == T->nil)) {
7. 		y = z;
8. 	} else {
9. 		y = rbtree_successor(T, z);
10. 	}
11. 
12. 	if (y->left != T->nil) {
13. 		x = y->left;
14. 	} else if (y->right != T->nil) {
15. 		x = y->right;
16. 	} else {
17. 		x = T->nil;
18. 	}
19. 
20. 	x->parent = y->parent;
21. 	if (y->parent == T->nil) {
22. 		T->root = x;
23. 	} else if (y == y->parent->left) {
24. 		y->parent->left = x;
25. 	} else {
26. 		y->parent->right = x;
27. 	}
28. 
29. 	if (y != z) {
30. 		z->key = y->key;
31. 		z->value = y->value;
32. 	}
33. 
34. 	if (y->color == BLACK) {
35. 		rbtree_delete_fixup(T, x);
36. 	}
37. 
38. 	return y;
39. }

image.png

  • 这个代码并不是完全按照算法导论上写的，进行了一些优化
  • 6-10行一个if-else判断直接将四幅图的y都给确定，图a，b中将z赋值给了y。
  • 12-18行的if-else判断直接将四幅图的x都给确定，否则x置为nil，
  • 20-27对应transplant操作，将x与y.parent连接起来了
  • 29-32对应图c，d的情况，将z与x连接后再将y的值赋给z。

删除修正函数

红黑树的五个性质：

  1. 每个结点是红的或者黑的
  2. 根结点是黑的
  3. 每个叶子结点是黑的
  4. 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的
  5. 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上的 包含相同数目的黑结点

我们在每次删除前，对于上面前两幅图中的情况，我们会记录下被删除结点z的颜色，因为它决定了我们最后是否需要修正红黑性质（若z为红色，其父结点和孩子必为黑色，删除z将不会违背性质5，用z的孩子去替代z也不会影响性质4），y指向z，x指向z的右孩子；对于后两种情况，我们记录的是被删除结点z右子树中关键字最小的结点y的颜色，同样，如果它是红色，不管z是什么颜色，统一将y的颜色修改为z的颜色，并按照图中的方式去置换掉z，都不会对红黑性质产生影响。综合上述分析，我们发现四种情况的“输出”（处理后的结果）是一致的：若记录的颜色是红色，说明红黑性质未改变，无需修正；如果是黑色，说明红黑性质一定被打破了，需要修正调用fixup函数。 如果结点y是黑色，如下图，将会造成3种影响：

image.png 1）如果y原来是根结点，而y的一个红孩子成为了新的根结点，将会违背性质2根结点是黑的。如上图①中左侧情况。

2）如果x和x的父结点都为红色，将违背性质4如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。如上图③中的左侧，x为红色的情况。

3）所有的情况（除了y原来是根结点外）都将导致之前包含y结点的简单路径上的黑结点数少1，将违背性质5对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上的 包含相同数目的黑结点。修正这一问题的方式是我们将现在占据y结点位置的x结点“再涂上一层黑色”，当然，“涂色”操作并不反映在代码上，即我们不会修改x的color属性，我们只是“在心中记住”，适当的时候会把x的这层黑色涂到某个红色结点上以达到目的。“涂了两层色”的x结点可能是双层黑色或红黑色，它们分别会“贡献”2或1个黑色结点数。

下面我们再分析RB-DELETE-FIXUP修正过程：

修正过程分了4种情况，我们先给出每种情况对应的示意图：

image

然后对每种情况给出分析（建立在x是左孩子的基础上）：

Case 1：x的右兄弟w是红色，说明x的父结点一定是黑色。所作的操作是：交换w和其父结点的颜色，即把w换为黑色，其父结点换位红色；然后对父结点左旋，w重新指向x的右兄弟（该结点原本是w的左孩子，所以一定为黑色）。这是Case 1过度到Case 2或case 3或 case 4。

Case 2：w的孩子都为黑色（w也是黑色）。所作的操作是：将w换为红色，x指向其父结点。

Case 3：w的左孩子是红色，右孩子是黑色（w也是黑色）。所作的操作是：交换w和其左孩子的颜色，即把w换位红色，其左孩子换为黑色；然后对w右旋，w重新指向x的右兄弟。

Case 4：w的右孩子是黑色（w是黑色）。w与x的父结点交换颜色；并把w的右孩子设为黑色，对x的父结点左旋，x直接指向根结点，循环结束。

做完以上的while循环，我们还要做的一步操作是将根结点置为黑色。这样就能保证满足性质①。

再来看一个具体实例 image.png 上述图解的总体思想是：将情况1首先转换成情况2，或者转换成情况3和情况4。当然，该图解并不意味着调整过程一定是从情况1开始。通过后续代码我们还会发现几个有趣的规则：a).如果是由情况1之后紧接着进入的情况2，那么情况2之后一定会退出循环（因为x为红色）；b).一旦进入情况3和情况4，一定会退出循环（因为x为root）。

删除后调整函数fixAfterDeletion()的具体代码如下，其中用到了上文中提到的rotateLeft()和rotateRight()函数。通过代码我们能够看到，情况3其实是落在情况4内的。情况5～情况8跟前四种情况是对称的，因此图解中并没有画出后四种情况，读者可以参考代码自行理解。

void rbtree_delete_fixup(rbtree *T, rbtree_node *x) {

	while ((x != T->root) && (x->color == BLACK)) {
		if (x == x->parent->left) {

			rbtree_node *w= x->parent->right;
			if (w->color == RED) {//1
				w->color = BLACK;
				x->parent->color = RED;

				rbtree_left_rotate(T, x->parent);
				w = x->parent->right;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) {
				w->color = RED;
				x = x->parent;//2
			} else {

				if (w->right->color == BLACK) {
					w->left->color = BLACK;
					w->color = RED;
					rbtree_right_rotate(T, w);
					w = x->parent->right;
				}

				w->color = x->parent->color;
				x->parent->color = BLACK;
				w->right->color = BLACK;
				rbtree_left_rotate(T, x->parent);

				x = T->root;
			}

		} else {

			rbtree_node *w = x->parent->left;
			if (w->color == RED) {
				w->color = BLACK;
				x->parent->color = RED;
				rbtree_right_rotate(T, x->parent);
				w = x->parent->left;
			}

			if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) {
				w->color = RED;
				x = x->parent;
			} else {

				if (w->left->color == BLACK) {
					w->right->color = BLACK;
					w->color = RED;
					rbtree_left_rotate(T, w);
					w = x->parent->left;
				}

				w->color = x->parent->color;
				x->parent->color = BLACK;
				w->left->color = BLACK;
				rbtree_right_rotate(T, x->parent);

				x = T->root;
			}

		}
	}

	x->color = BLACK;
}

www.cnblogs.com/CarpenterLe…

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