动态规划

一说到动态规划啊，很多人都比较头疼，因为这种东西真是不把人当人，难起来真的连想破脑瓜子都写不出来，任是卡在某一个步骤，久久不能自拔。我也是饱受动态规划的摧残，被其折磨的遍体鳞伤，我都不想回忆那段不堪的时光。闲话不多说，我们先来认识一下它。

概念

什么叫做动态规划呢？动态规划的基本思想就是将待求解的问题分解成若干个子问题，利用这些子问题的解，得到原问题的解。通常动态规划的问题都伴随这动态数组dp来记录所有子问题的答案.计算一个子问题，就将其结果填入dp数组中，而dp数组也会随着问题的复杂程度而被定义为一维数组，二维数组，甚至三维数组，这是由问题决定的，有的时候一维数组可以解决，但是dp可能定义成二维数组会更加方便。而这dp数组的元素之间也常常具有某种关系，我们将其称为状态转移方程，

动态规划法多用于来解决带有最优性质以及无后效性的问题，比如最长回文，以及我们熟知的背包问题等。那么这里需要解释一下什么叫做无后效性: 在某个阶段的状态一旦确定，则此后的过程不再受此前各状态及决策的影响，此阶段之后的变化仅与此阶段有关，而与此阶段之前的所经历的阶段无关。 也就是说，每一个子问题都是新的问题，在研究下一个子问题时，只与当前子问题有关，与该子问题之前的子问题无关

解题思想四部曲

1. 确定dp的状态 : 定义为一维二维还是三维？表示什么含义？

2. 确定状态转移方程

3. 初始化，也就是dp数组可以取得的元素的值

4. 自底向上的方式计算dp,并得出最优值

例题

力扣中的，最长回文子序列是这样描述的:给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列

基本思想

在做题之前我们先要分析，什么叫做回文子序列,这个可要和回文子串区分开来，回文子串必须是连续的，而回文子序列是在不改变字母顺序的情况下，组合而成的序列。比如 bab，回文子串ba,ab,bab,但是子序列多了一种子序列 bb，所以二者是不一样的。

那么接下来我们就按照四部曲来解释

dp数组的状态

首先，我们需要考虑如何定义dp数组，在此题中假设定义一维数组dp[]，那么能表示什么含义呢？而且此处是子串，如何表示子串这个概念呢？所以很显然，这里定义一维数组并不合适。那我们将dp数组定义为二维数组，dp[i][j]的含义就表示从i到j的子序列的最大长度。

状态方程

接下来，我们就需要思考状态方程了，这一直也是难点。我们需要抓住本质，在考录某个状态的时候，我们只需要知道dp[i][j]是如何定义状态的，并不需要具体了解是怎么推出来的。

一般在考虑的时候，并不讨论特殊情况，而是普遍情况

在回文中，最重要的逻辑就是s[i]=s[j]，如果i与j相邻，那么我们就可以定义i到j的回文子序列中dp[i][j]的最大长度为2。所以我们可以继续延伸，如果字母更多会怎么样？那么此时，我们的下标就需要向外扩散，也就是说，当i与j不相邻的时候，我们就需要判断在判断dp[i + 1][j - 1]中的子序列的最大长度为多少，那么这个时候dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2.

由于是回文子序列，我们还需要考虑s[i]与s[j]不相同的情况，那么这个时候说明s[i]和s[j]的同时加入，并不能增加[i,j]区间回文子串的最大长度+2，那么此时就要单独加入s[i]、s[j]，看看哪一个子序列可以组成最长的回文子序列。

如果加入s[j]，那么原来的dp[i+1][j-1]的回文子序列就需要考虑dp[i + 1][j]的最大长度。

如果加入s[i]，那么原来的dp[i+1][j-1]的回文子序列就需要考虑dp[i][j - 1]的最大长度。

那么dp[i][j]一定取二者的最大值，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

初始化

当i与j相同时，很显然，dp[i][j] = 1，也就是说，考虑i与j相等时候的情况就将其置为1

自底向上

很显然，这里的计算顺序i需要从0开始，而j需要从s的最后一位开始。因为我们的dp[i][j]需要由dp[i][j - 1]得到，最后得到的最大值就为dp[0][size - 1]

具体代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) 
        dp[i][i] = 1;//初始化，将ij相等的情况都置为1
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

总结

动态规划这条路还是很长的，这也只是冰山一角，我也只是遨游在代码的海洋，近乎溺死，自己日后还是要加强练习，需要不断提升自己，不过遇到动态规划，四部曲还是很奏效的，至少不会这么无厘头，记住箴言：多练习，多学习，多复习，多思考！

希望可以帮到大家，谢谢！