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7.5.3Kruskal算法
贪心算法一般按如下步骤进行：
①建立数学模型来描述问题
②把求解的问题分成若干个子问题
③对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解
④把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解
克鲁斯卡尔算法（Kruskal）是一种使用贪婪方法的最小生成树算法。 该算法初始将图视为森林，图中的每一个顶点视为一棵单独的树。 一棵树只与它的邻接顶点中权值最小且不违反最小生成树属性（不构成环）的树之间建立连边。
第一步：将图中所有的边按照权值进行非降序排列；
第二步：从图中所有的边中选择可以构成最小生成树的边。
- 选择权值最小的边
：没有环形成，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：没有形成环，则添加：
- 选择边
：添加这条边将导致形成环，舍弃，不添加；
- 选择边
：添加这条边将导致形成环，舍弃，不添加；
- 选择边
：没有形成环，则添加：
此时已经包含了图中顶点个数9减1条边，算法停止。
下面我们来用代码实现
int Find(int *parent, int f)
{
while( parent[f] > 0 )
{
f = parent[f];
}
return f;
}
// Kruskal算法生成最小生成树
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i, n, m;
Edge edges[MAGEDGE]; // 定义边集数组
int parent[MAXVEX]; // 定义parent数组用来判断边与边是否形成环路
int eCount = 0;
for( i=0; i < G.numVertexes; i++ )
{
parent[i] = 0;
}
for( i=0; i < G.numEdges; i++ )
{
n = Find(parent, edges[i].begin); // 4 2 0 1 5 3 8 6 6 6 7
m = Find(parent, edges[i].end); // 7 8 1 5 8 7 6 6 6 7 7
if( n != m ) // 如果n==m，则形成环路，不满足！
{
parent[n] = m; // 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent数组中，表示此顶点已经在生成树集合中
printf("(%d, %d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
++eCount;
if( eCount == (G.numVertexes-1)){
break;
}
}
}
}
时间复杂度分析
O(ElogE)或者O(ElogV)，其中E代表图中的边的数目，V代表图中的顶点数目。对图中的边按照非降序排列需要O(ElogE)的时间。排序后遍历所有的边并判断添加边是否构成环，判断添加一条边是否构成环最坏情况下需要O(logV)，关于这个复杂度等到景禹给你们谈并查集的时候再分析；因此，总的时间复杂度为O(ElogE + ElogV)，其中E的值最大为V(V-1)/2，因此O(logV) 等于 O(logE)。因此，总的时间复杂度为O(ElogE) 或者O(ElogV)。
