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简介

今天也是小落叶复习的一天，今天给大家介绍有关埃及分数的例子。这个例子简单的了解一下有关贪心法的问题。

埃及分数

埃及同中国一样，也是世界文明古国之一。古埃及人只用分子为1的分数，在表示一个真分数时，将其分解为若干埃及分数之和，例如，7/8表示为1/2+1/3+1/24。埃及分数问题(Egypt fraction)要求把一个真分数表示为最少的埃及分数之和的形式。

想法

一个真分数的埃及分数表示不唯一的。例如，7/8又可以表示为1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8。显然，把一个真分数表示为最少的埃及分数之和的形式，其贪心策略是选择真分数包含的最大埃及分数。以7/8为例，7/8>1/2,则1/2是第一次贪心选择的结果；7/8-1/2=3/8>1/3,则1/3是第二次贪心选择的结果；7/8-1/2-1/3=1/24，则1/24是第三次贪心选择的结果，即7/8=1/2+1/3+1/24。

接下来的问题是：如何找到真分数包含的最大埃及分数?设真分数为A/B，B除以A的整数部分为C，余数为D，则有下式成立：

B=A*C+D

即

B/A=C+D/A<C+1

则

A/B>1/(C+1)

即1/(C+1)即为真分数A/B包含的最大埃及分数。设E=C+1,由于：

A/B-1/E=((AE)-B)/(BE)

则真分数减去最大埃及分数后，得到真分数((AE)-B)/(BE),该真分数可能存在公因子，需要化简，可以将分子和分母同时除以最大公约数。

算法

设函数EgyptFraction实现埃及分数问题，算法用伪代码描述如下：

埃及分数EgyptFraction
输入：真分数的分子A和分母B
输出：最少的埃及分数之和
1. E=B/A+1;
2. 输出1/E;
3. A=A*E-B; B=B*E;
4. 求A和B的最大公约数R,如果R不为1，则将A和B同时除以R;
5. 如果A等于1，则输出1/B，算法结束；否则转步骤1重复执行。

寄语

因为目前小落叶还是在复习，时间有限，所以在这里就简单的介绍一下有关埃及分数的内容，希望可以让大家对于贪心算法有一个简单的认识。