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问题描述
221. 最大正方形
在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。
示例：
输入：matrix = [["1","0","1","0","0"], ["1","0","1","1","1"], ["1","1","1","1","1"], ["1","0","0","1","0"]]
输出：4
分析问题
我们都知道正方形的面积等于边长的平方，要想求出最大的正方形面积，首先需要找到最大正方形的边长，然后在计算平方就好。
最直观的解法就是使用暴力法来求解。具体来说，我们遍历矩阵中的每一个元素，每次遇到1时，则将该元素作为正方形的左上角；然后根据左上角所在的行和列计算可能的最大正方形的边长（每次在下方新增一行以及在右方新增一列，判断新增的行和列是否满足所有元素都是 1）。
下面我们来看一下代码的实现。
class Solution:
def maximalSquare(self, matrix):
#如果矩阵为空，直接返回0
if len(matrix) == 0 \
or len(matrix[0]) == 0:
return 0
#最大的边长
max_length=0
rows, columns = len(matrix), len(matrix[0])
for i in range(rows):
for j in range(columns):
#遇到一个 1 作为正方形的左上角
if matrix[i][j] == '1':
max_length = max(max_length, 1)
#求出超出边界的最小值
current_edge = min(rows - i, columns - j)
for k in range(1, current_edge):
#判断新增的一行一列是否均为1
tag = True
#判断对角线是否为1，如果为0，直接退出，
if matrix[i + k][j + k] == '0':
break
for m in range(k):
#判断对应的列或者行是否全为1
if matrix[i + k][j + m] == '0' or matrix[i + m][j + k] == '0':
tag = False
break
if tag:
#如果新增的一行一列均为1，则增加边长
max_length = max(max_length, k + 1)
else:
break
#返回最大面积
result = max_length * max_length
return result
该算法的时间复杂度是 O(m * n * min(m, n) ^ 2)，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数；空间复杂度是O(1)。显然该算法的时间复杂度太高，下面我们来看一下如何进行优化求解。
这道题我们可以使用动态规划来求解。我们用 dp[i] [j] 表示以 (i，j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长的最大值。在求出所有的dp[i] [j]的值以后，那么其中的最大值就是矩阵中只包含1的正方形的边长的最大值，其平方就是最大正方形的面积。下面我们来看一下如何来求解dp[i] [j] 。
对于矩阵中的每一个位置（i，j），检查其对应的值。
-
如果该位置是0，那么dp[i] [j] =0，因为当前位置不可能在由1组成的正方形中；
-
如果该位置是1，那么dp[i] [j] 的值由其上边，左边以及左上角三个相邻位置的值决定。即当前位置的值等于三个相邻位置元素对应的值的最小值加1。
dp[i] [j] = min( dp[i-1] [j] , dp[i] [j-1] , dp[i-1] [j-1] ) + 1
我们来看一下边界条件。当i=0或者j=0时，如果矩阵中位置为(i, j) 的值为1，那么以位置（i,j）为右下角的矩阵的边长只能是1，即此时dp[i] [j] = 1。
当matrix 为 [["1","0","1","0","0"], ["1","0","1","1","1"], ["1","1","1","1","1"], ["1","0","0","1","0"]] 时，其状态转移矩阵如下图所示。
下面我们来看一下代码的实现。
class Solution:
def maximalSquare(self, matrix):
#如果矩阵为空，直接返回0
if len(matrix) == 0 \
or len(matrix[0]) == 0:
return 0
max_edge = 0
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
#初始化一个状态转移矩阵
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
for i in range(m):
for j in range(n):
if matrix[i][j] == '1':
#边界条件
if i == 0 or j == 0:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
max_edge = max(max_edge, dp[i][j])
#求出最大正方形
result = max_edge * max_edge
return result
该算法的时间复杂度是O(m*n)，其中m、n分别为矩阵的行和列。空间复杂度也是O(m * n)。
