「前端刷题」84. 柱状图中最大的矩形

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题目

链接：leetcode-cn.com/problems/la…

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

 

示例 1:

**输入：**heights = [2,1,5,6,2,3] **输出：**10 **解释：**最大的矩形为图中红色区域，面积为 10

示例 2：

输入： heights = [2,4] 输出： 4

 

提示：

• 1 <= heights.length <=105
• 0 <= heights[i] <= 104

解题思路

名词释义

• 高个阵营: 从左到右审视直方图，在没遇到下一个bar之前，就存在已有长方形，比较高的就是“高个阵营”
• 矮个阵营: 和高个阵营相反

高矮阵营各有优势

• 遇到一个新的 bar 时
  • 高个阵营兼容不了它，还因为矮 bar 的 “阻隔”，自此面积停止变大
  • 矮个阵营可以兼容它，长度因此变长，面积变大
  • 矮个阵营矮，但兼容性好，通过长度变长，变得更强
  • 高个阵营高，但兼容性差，遇高则强，遇矮则生长停滞

高 bar 矮 bar 所带来的不同意义

• 来了个高 bar ，两个阵营都能补强。此时不需要计算面积，因为面积在变大，没有到最大
• 来了个矮 bar ，高个阵营面积不能再变大了，矮个阵营有逆袭的可能。考察高个阵营已无意义，算完面积即可抛弃，继续观察矮个阵营

问题来了，高矮是相对的

• 没有绝对的高 bar ，也没有绝对的矮 bar，没有绝对的高个阵营，也没有绝对的矮个阵营
• 难道每次都要根据一个新 bar 去区分高矮阵营吗？显然不实际

高矮，是通过比较产生的

• 举个例子：小王，军训集合迟到了，姗姗来迟
• 如果此时队伍参差不齐，很难比较出谁比小王高，谁比小王矮
• 如果队伍按高矮排好，小王从队头一个个地比，大家很容易知道自己和小王谁高
• 小王也很容易就知道自己该排到哪里

让比较的过程更快

• 将高矮排好（维护一个单调序列），迎接新 bar 的到来
• 问题来了，维护单调栈，还是单调队列？单调递增，还是单调递减？

为什么是单调递增？为什么是栈？

• 如果是单调递减栈
  • 新 bar 比栈顶矮，入栈，维持递减性
  • 新 bar 比栈顶高，靠近栈顶的矮个阵营会补强，继续考察，排后面的高个停止生长，需要抛弃
  • 可是高个阵营不在栈顶，不好出栈啊
• 那，队列可以吗？让高个从队尾出列？
  • 好的，但是，人家新 bar 要进来啊，要从高个出列的地方入列，才能保持单调性，这就不是队列了，是栈了
• 所以，只能是单调递增栈
  • 新 bar 比栈顶高，入栈，保持单增性
  • 新 bar 比栈顶低，栈顶的高个阵营停止生长，出栈，后头的矮个阵营留待观察

栈的单调性，谁去谁留，变得清晰

• 高个阵容遇到矮 bar 而停止发育，计算它形成的长方形面积后，就出栈
• 栈是单调递增的，不断将新的栈顶 bar 和当前 bar 比较，高的就走
• 等到栈顶 bar 不再高于当前 bar，就不再出栈，并让当前 bar 入栈

单调栈记录什么？

• bar 的位置（索引），高度通过 height[i] 求出，宽度通过索引相减求出

捋一下整个过程

• 维护一个 stack 栈。遍历 heights 数组的每一个 bar
• 当前 bar 比栈顶的 bar 高，直接入栈
• 当前 bar 比栈顶的 bar 矮：
  • 栈顶元素（索引）出栈，暂存给 stackTopIndex 变量
  • 计算以 heights[stackTopIndex] 为高的长方形的面积，宽度 = 当前 bar 的索引 i - 新的栈顶索引 - 1 ，与全局的最大比较
• 当前 bar 继续和新的栈顶比较，重复上面过程，直到当前 bar 不再比栈顶的 bar 矮，入栈

下面是边界情况的分析

栈空了，面积公式就没法用了

• 求长方形的宽度，需要新的栈顶，如果没有呢？当栈只有一个元素，栈顶出栈，栈就空了
• 我们再思考另一个问题：让 heights 数组的索引 0 入栈，依据是什么？
• 入栈的依据是当前 bar 比栈顶 bar 高。问题是现在没有栈顶可以比较
• 我们可以设立一个高为 0 的虚拟 bar ，放在 heights 的 0 位置，它不影响结果，却可以让第一条 bar 的索引，名正言顺地入栈
• 同时解决了第一个问题：不会有别的 bar 比它更矮了，因此该 bar 永不出栈

最后一个 bar 需要解救

• 最后一个 bar 不会遇到新 bar 了，如果它在栈中，那就没有机会出栈了，意味着，没有机会计算栈中的长方形面积了
• 我们设立一个虚拟的高为 0 的 bar，放在 heights 数组的最右，栈中的 bar 都比它高，能一一出栈，得到解救

const largestRectangleArea = (heights) => {
  let maxArea = 0
  const stack = []
  heights = [0, ...heights, 0]         
  for (let i = 0; i < heights.length; i++) { 
    while (heights[i] < heights[stack[stack.length - 1]]) { // 当前bar比栈顶bar矮
      const stackTopIndex = stack.pop() // 栈顶元素出栈，并保存栈顶bar的索引
      maxArea = Math.max(               // 计算面积，并挑战最大面积
        maxArea,                        // 计算出栈的bar形成的长方形面积
        heights[stackTopIndex] * (i - stack[stack.length - 1] - 1)
      )
    }
    stack.push(i)                       // 当前bar比栈顶bar高了，入栈
  }
  return maxArea
}