「这是我参与11月更文挑战的第21天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

简介

威佐夫博弈( $Wythoff\ Game$ )：有两堆物品个数是 $n$ 和 $m$ ，甲乙两个人轮流从一堆选取 $k$ 个物品或两堆中选取各选取 $k$ 个物品，最后取完物品的人获胜。

思路

两堆物品数用 $(n,m)$ 表示，满足 $n\le m$ ，如果 $n>m$ 则交换 $n$ 与 $m$ 。

现考虑各种状态，发现先手必输态如下：

当 $n=0$ 时，
$(0,0)$ 没有物品甲必败,
$(0,m\ne 0)$ 有物品甲必胜。

当 $n=1$ 时，
$(1,2)$ 会变成乙选 $(0,1)$ , $(0,2)$ 或 $(1,1)$ ，甲必败,
$(1,m\ne 2)$ 有物品甲必胜利。

当 $n=2$ 时，
$(2,m)$ 变成乙选 $(0,2)$ 或 $(1,2)$ ，甲必胜。

当 $n=3$ 时，
$(3,5)$ 甲必败，
$(3,m\ne 5)$ 甲必胜。

进一步推算可以发现所有的先手必败局为 $(0,0)$ , $(1,2)$ , $(3,5)$ , $(4,7)$ , $(6,10)\dots$
这种先手必败局叫做奇异局势，可以发现第 $k$ 项的 $n$ 是前 $k-1$ 项中未出现的最小正整数 $i$ ，而 $m=i+k$ 。
每个人要想获胜就是尽量使对方变成奇异局势。

根据相关资料可以得知第 $k$ 项奇异局势的 $n_k=\frac{k(\sqrt(5)+1)}{2},m_k=n_k+k$ 。

bool Wythoff(int n,int m){//判断先手且为n,m时是否取胜 
    if(n>m) return Wythoff(m,n);//保证n<=m 
    int k=m-n;//计算出项数k 
    int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//计算出必败时的n 
    return n!=_n;//判断是否必败 
}

例题

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题目描述

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

输入

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

输出

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

样例输入

2 1 8 4 4 7

样例输出

0 1 0

参考代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
bool Wythoff(int n,int m){//判断先手且为n,m时是否取胜 
    if(n>m) return Wythoff(m,n);//保证n<=m 
    int k=m-n;//计算出项数k 
    int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//计算出必败时的n 
    return n!=_n;//判断是否必败 
}
int main(){
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<Wythoff(n,m)<<endl;
    }
    return 0;
}

【博弈论】威佐夫博弈

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