【笔记】 单调队列及单调dp

这是我参与11月更文挑战的第18天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战.

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概念

单调队列，常用来维护连续区间的最大值：

1. 将元素入队
2. 将元素出队
3. 求当前队列中的最大值

实现

实现可以做到单个操作平均O(1)，实际存储时队列中元素满足如下性质：

1. 越先入队越靠前
2. 越大越靠前
3. 不符合以上两个条件的元素会被扔掉。

此时三个操作转化为：

1. x入队：从队尾开始，将所有小于等于x的元素出队，然后将x入队。
2. x出队：如果x已经出队，则忽略，否则将其出队。
3. 最大值：队首元素即为最大值。

因为队列中实际存储的元素为单调递减，所以又称单调队列。

多重背包的单调优化

很多动态规划问题的状态转移都有类似于这样的情况：每个状态可以由上一行中的连续一段状态转移得到。 最经典的例子是多重背包：$dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*vol]+k*val), 0<=k<=num$，其中$vol,val,num$分别为本种物品的体积，价值，件数。

举例来说，如果vol是1，val是2，num是3，那么$dp[i][6]$可由以下状态转移得到：

dp[i-1][3]+6
dp[i-1][4]+4
dp[i-1][5]+2
dp[i-1][6]

而$dp[i][7]$可由以下状态转移得到：

dp[i-1][4]+6
dp[i-1][5]+4
dp[i-1][6]+2
dp[i-1][7]

而$dp[i][8]$可由以下状态转移得到：

dp[i-1][5]+6
dp[i-1][6]+4
dp[i-1][7]+2
dp[i-1][8]

可以看到，三个状态的前驱状态有很大的重合部分，且满足单调队列的性质，此时可使用单调优化。

首先，为了排除后面所加的数字不同造成的影响，我们将上一列所有的状态值进行统一化处理：$dp[i-1][j]-=2*j$，此时$dp[i][6]$的前驱状态是

dp[i-1][3]+12
dp[i-1][4]+12
dp[i-1][5]+12
dp[i-1][6]+12

同理，$dp[i][7]$的每个前驱状态之后都为+14，此时把这些常数扔掉，在求出$dp[i][j]$的最大值后加上$2*j$即可。 此时$dp[i][6]$的前驱状态是：

dp[i-1][3]
dp[i-1][4]
dp[i-1][5]
dp[i-1][6]

而$dp[i][7]$的前驱状态是：

dp[i-1][4]
dp[i-1][5]
dp[i-1][6]
dp[i-1][7]

直接使用单调队列优化即可。

价值和件数取任意值时得到的结论均相同，而当物品体积不为1时，转移就变成了当前体积除以物品体积的余数相同时，进行上述优化。

代码

因为出队操作的不确定性，单调队列需要维护两个数组：下标和值，以此判断何时应当出队。

/* 多重背包_使用单调优化 */
int main(void)
{
	int T = read();
	while(T--)
	{
		int v=read(), n=read();
		int dp[M]={};

		for(int i=1; i<=n; ++i)
		{
			int vol=read(), val=read(), num=read(); //体积,价值,数量
			for(int k=0; k<vol; ++k) //枚举体积的余数
			{
				int a[M], b[M], l=0, r=0; //下标, 值, 队头, 队尾, 左闭右开
				for(int j=k; j<=v; j+=vol)
				{
					int y = dp[j] - j/vol*val; //当前体积的贡献值

					while(l<r && y>=b[r-1]) r--; //入队
					a[r] = j; b[r++] = y;

					while(a[l]<j-num*vol) ++l; //出队

					dp[j] = b[l] + j/vol*val; //选择最大值
				}
			}
		}
		printf("%d\n",dp[v] );
	}

    return 0;
}

习题

1. hdu2191 多重背包裸题，代码如上。
2. hdu3401 Trade

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本文也发表于我的 csdn 博客中。