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877 石子游戏

题目描述

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

示例：

输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。 

方法一：动态规划

解题思路

设dp[i][j]表示剩下第i堆到第j堆石子时，现在取的人能造成的最大石子差，其中i、j从0开始计数

初始化：

1. dp[i][i] = piles[i]即仅剩最后一堆石子时能造成的最大石子差即为piles[i]
2. dp[i][j] = 0，当i > j时

状态转移方程

优化

考虑到dp[i][j]每的计算只与第i行和第i + 1行有关，所以不必使用二维数组，可以使用滚动数组，去掉dp的第一个维度

外层循环应从i最大值开始倒序遍历，保证转移来的是dp[i + 1][]的元素

代码

// 二维数组
/**
 * @param {number[]} piles
 * @return {boolean}
 */
var stoneGame = function(piles) {
    const n = piles.length
    const dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp[i][i] = piles[i]
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = Math.max(piles[i] - dp[i + 1][j], piles[j] - dp[i][j - 1])
        }
    }
    if (dp[0][n - 1] > 0) {
        return true
    } else {
        return false
    }
};

// 一维数组
var stoneGame = function(piles) {
    const n = piles.length
    const dp = new Array(n).fill(0)
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp[i] = piles[i]
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            dp[j] = Math.max(piles[i] - dp[j], piles[j] - dp[j - 1])
        }
    }
    if (dp[n - 1] > 0) {
        return true
    } else {
        return false
    }
};

算法复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n * n)
2. 空间复杂度：优化前O(n * n)，优化后O(n)

方法二：数学推导

解题思路

1. 将石子堆按照下标分成奇数堆和偶数堆两堆

2. 对于一组连续的自然数i~j，自然数的个数可以决定头尾两个数奇偶性是否相同

   假如有偶数个，则j-i+1为偶数，那么j-i为奇数，所以i和j奇偶性不同

   假如有奇数个，则j-i+1为奇数，那么j-i为偶数，所以i和j奇偶性相同

3. 对于一组连续的自然数i~j，假设有偶数个数，即i和j奇偶性不同

   如果i为奇数，去掉i之后，i+1和j均为偶数；去掉j之后，i和j-1均为奇数

   如果i为偶数，去掉i之后，i+1和j均为奇数；去掉j之后，i和j-1均为偶数

4. 由2可得，当石子剩下奇数堆数时，即第二个人取时，头尾下标奇偶性相同，即第二个人只能取奇数堆或偶数堆

   当石子剩下偶数堆数时，即第一个人取，头尾下标奇偶性不同，可以任意选择取奇数堆或偶数堆

5. 由3可得，第一个人可以控制第二个人只取奇数堆或者偶数堆

6. 由上可得，只要第一个人一直取偶数堆，那么第二个人只能取奇数堆

   或者第一个人一直取奇数堆，那么第二个人只能取偶数堆

   于是第一个人只要一直取总数多的那一堆则可以保证胜利

代码

/**
 * @param {number[]} piles
 * @return {boolean}
 */
var stoneGame = function(piles) {
	return true
};

算法复杂度分析

1. 时间复杂度：O(1)
2. 空间复杂度：O(1)