线性代数笔记

矩阵运算法则

• 矩阵加法

  定义：　两个矩阵[^1]相加,就是将对应元素分别相加，结果仍为矩阵．

  注意：　只有同型矩阵才能相加，且它们的和仍是与它们同型的矩阵．

  性质：　满足交换律、结合律．

• 数乘矩阵

  定义：　$数\lambda$与$矩阵A$的乘积记作　$\lambda A$．　规定数乘$矩阵A$等于用这个$\underline{数\lambda}$遍乘$\underline{矩阵A}$的每一个元素．

  性质：

  $\lambda A=A \lambda$

  $(-1)A=-A$

• 矩阵乘法

  定义：

  设　$A=(　a_{ij}　)$　是一个　$m\times n$　矩阵，$B=(　b_{ij}　)$　是一个　$n\times p$　矩阵，那么　$矩阵A$　与　$矩阵B$　的乘积是一个　$m\times p$　矩阵　$C=(　c_{ij}　)$，　其中　$c_{ij}$　就是　$A$　的第　$i$　行与　$B$　的第　$j$　列对应元素乘积之和．　记作　$C=AB$　．

  性质： 满足结合律、分配律．

  $EA=AE=A$

  $A^kA^l=A^{k+l}$

  $(A^k)^l=A^{kl}$

• 矩阵的转置

  定义：　

  设矩阵$A=(　a_{ij}　)$，不改变每行元素的相互顺序，把$A$的行依次作为同序数的列所排成的矩阵称为$A$的转置矩阵，记作$A^T=(　a_{ji}　)$ ．

  性质：

  $(A^T)^T=A$

  $(A+B)^T=A^T+B^T$

  $(\lambda A)^T=\lambda A^T$　　($\lambda为数$)

  $(AB)^T=B^TA^T$

• 方阵的行列式

  定义：　由$n阶方阵A$的元素所构成的行列式　(各元素的位置不变)，称为$方阵A$的行列式，记作$|A|$或$detA$．

  性质：

  $|A^T|=|A|$

  $|\lambda A|=\lambda ^n|A|$　$(\lambda 是数)$

  $|AB|=|A||B|$

可逆矩阵

• 可逆矩阵的概念

  定义：

  设　$A$　是$n阶方阵$，若存在$Ｂ$，使得　　$AB=BA=E$ 　，则称　方阵$A$　是__可逆的__，

  称　$B$　为　$A$　的逆矩阵，简称　$A的逆$，记作　$A^{-1}$．

  注意：　$A$的逆矩阵是唯一的．

• 方阵的伴随矩阵

  定义：

  设$n阶方阵　A=(　a_{ij}　)$，元素　$a_{ij}$　在　$|A|$　中的代数余子式为　$A_{ij}　(i,j=1,2,…,n)$ ，则矩阵

  $$A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$

  称为$A$的__伴随矩阵__

  注意：　伴随矩阵中元素位置与原行列式中相应元素位置并不相同，位置关系是转置关系．

• 方阵可逆的充要条件

  1. 方阵A可逆的充分必要条件是：$|A|\not=0$．
  2. $n$阶方阵$A$可逆的充分必要条件是存在$n$阶方阵$B$，使$AB=E$（或　$BA=E$）．

  注意：　对于n阶方阵A,B，只要有$AB=E$，则A,B都可逆且互为逆矩阵．　

• 逆矩阵的求法

  1. 定义法

     对于$n阶方阵A$，只要找到满足　$\underline{AB=E}$（或$\underline{BA=E}$）的　$n阶方阵B$，则$B$即为$A$的逆．

  2. 公式法

     $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ （$A\not=0$）．

  3. 初等变换法

     若$n阶方阵A$可逆 ，则可以通过初等变换求$A$的逆，即对　$n\times 2n$矩阵$(A,E)$　 实施初等行变换,当把$A$变成$E$时，原来的$E$就变成$A^{-1}$．

     　　　　　　　　　　　　　　　$\begin{pmatrix} A & E \end{pmatrix}　\stackrel{初等}{\stackrel{行变换}{\longrightarrow}}　\begin{pmatrix} E & A^{-1} \end{pmatrix}$

• 可逆矩阵的性质

  1. 若$A$可逆，则$A^{-1}$也可逆，且　$(A^{-1})^{-1}=A$　．
  2. 若$A$可逆，数$\lambda \not= 0$，则$\lambda A$可逆，且　$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$　．
  3. 若$A$,$B$均为可逆矩阵，则$AB$也可逆，且　$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$　．
  4. 若$A$可逆，则$A^T$也可逆，且　$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}$　．

矩阵的初等变换

• 初等变换的定义

  设$矩阵A=(a_{ij})_{m \times n}$　，则以下三种变换称为__矩阵A__的__初等行(列)变换__　．

  矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为__初等变换__　．

  (1)　交换$A$的两行(列)　，叫做　换法变换　；

  (2)　用一个非零常数$k$乘以$A$的某一行(列)　，叫做　倍法变换　；

  (3)　用一个数乘以$A$的某一行(列)的各元素后再加到$A$的另一行(列)对应的元素上去　，叫做　消法变换　．

• 矩阵的等价关系

  如果矩阵$A$经过有限次初等变换变成矩阵$B$，则称矩阵$A$与矩阵$B$　等价，记作　$A \cong B$　．