题目介绍

动态规划

可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)，检查在矩阵中该位置的值：

如果该位置的值是 0，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
如果该位置的值是 1，则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1，状态转移方程如下：

dp(i,j)= min(dp(i−1,j), dp(i−1,j−1), dp(i,j−1)) + 1

如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 [1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵]，其中给出了详细的证明。此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0，则以位置 (i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 dp(i,j) = 1。

代码如下：

class Solution {
    public int maximalSquare(char[][] matrix) {
        int maxSide = 0;
        //base
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return maxSide;
        }
        int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;
        int[][] dp = new int[rows][columns];
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < columns; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    //边界，第一行或者第一列的元素为右下角的正方形边长都为0或者1
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                    }
                    //更新最大边长
                    maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        //计算正方形面积
        int maxSquare = maxSide * maxSide;
        return maxSquare;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数。需要遍历原始矩阵中的每个元素计算 dp 的值。
空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数。创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 dp。由于状态转移方程中的 dp(i,j) 由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至 O(n)。

221. 最大正方形

题目介绍

动态规划