题目介绍

动态规划

我们用 f[i][j] 表示以 (i, j) 为右下角的正方形的最大边长，那么除此定义之外，f[i][j] = x 也表示以 (i, j) 为右下角的正方形的数目为 x（即边长为 1, 2, ..., x 的正方形各一个）。在计算出所有的 f[i][j] 后，我们将它们进行累加，就可以得到矩阵中正方形的数目。

我们尝试挖掘 f[i][j] 与相邻位置的关系来计算出 f[i][j] 的值。

如上图所示，若对于位置 (i, j) 有 f[i][j] = 4，我们将以(i, j)为右下角、边长为 4 的正方形涂上色，可以发现其左侧位置 (i, j - 1)，上方位置 (i - 1, j) 和左上位置 (i - 1, j - 1) 均可以作为一个边长为 4 - 1 = 3 的正方形的右下角。也就是说，这些位置的的 f 值至少为 3，即：

f[i][j - 1] >= f[i][j] - 1
f[i - 1][j] >= f[i][j] - 1
f[i - 1][j - 1] >= f[i][j] - 1

将这三个不等式联立，可以得到：

min(f[i][j−1], f[i−1][j], f[i−1][j−1]) ≥ f[i][j] − 1

这样我们就得到了 f[i][j] 的递推式。此外还要考虑边界（i = 0 或 j = 0）以及位置 (i, j) 的元素为 0 的情况，可以得到如下完整的递推式：

我们按照行优先的顺序依次计算 f[i][j] 的值，就可以得到最终的答案。

代码如下：

class Solution {
    public int countSquares(int[][] matrix) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        int[][] f = new int[m][n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    f[i][j] = matrix[i][j];
                } else if (matrix[i][j] == 0) {
                    f[i][j] = 0;
                } else {
                    f[i][j] = Math.min(Math.min(f[i][j - 1], f[i - 1][j]), f[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
                //更新累加和
                ans += f[i][j];
            }
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(MN)。
空间复杂度：O(MN)。由于递推式中 f[i][j] 只与本行和上一行的若干个值有关，因此空间复杂度可以优化至 O(N)。

1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵

题目介绍

动态规划