圆圈中最后剩下的数字

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圆圈中最后剩下的数字

问题描述

剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例：

输入：n = 5， m = 3

输出：3

分析问题

问题来历

犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。-----《约瑟夫问题》百度百科

求解

这道题其实是一个数学问题。首先我们定义函数f(n，m)，表示在n个数字（序号0,1...,n-1）组成的圆圈中不断的删除第m个数字，最后剩下的那个数。开始时，在n个数字中删除第m个数字，则删除后就剩下n-1个数，那么再次删除就是在这个n-1个数中删除第m个数，可以用f(n-1,m)来表示，因此我们可以使用动态规划的方式来求解。

但是这里有一点需要注意。因为f(n，m)表示的是从0开始对区间0n-1不断的进行删除操作。第一步删除时，起点是0，区间是0n-1，被删除的元素是（m-1）% n，假设其等于k。那么第二步删除时，起点是k+1，区间也不满足上述要求，因此第二步不断删除的结果可以表示为f^’(n-1,m)。则有f(n,m)=f^’(n-1,m)。下面我们来看一下f^’(n-1,m)和f(n-1,m)之间的关系。

我们假设f^’(n-1,m)=y，f(n-1,m)=x。

通过观察，我们可以知道x和y的关系为y=(x+k+1)%n，所以f^’(n-1,m)=(f(n-1,m)+k+1)%n=(f(n-1,m)+(m-1)%n+1)%n=(f(n-1)+m)%n。当n=1时，数组中只有一个数字0，因此有f(1,m)=0，由此我们可以得出递推表达式：

$f(n,m)=\left\{\begin{matrix}0，n=1\\(f(n-1,m)+m))\%n \geq0 \end{matrix}\right.$

有了递推公式后，我们直接翻译成代码就好了。下面我们来看一下代码实现。

class Solution:
    def lastRemaining(self, n, m):
        x = 0
        #从2开始遍历求解
        for i in range(2, n + 1):
            x = (x + m) % i
        return x