树的基本概念

• 树有节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
• 一棵树没有任何节点，被称为空树
• 一棵树可以只有一个节点，也就是只有根节点
• 一棵树可以有子树、左子树、右子树
• 节点的度:子树的个数
• 树的度:所有节点中的最大值
• 叶子节点:度为0的节点
• 非叶子节点:度不为0的节点
• 节点的深度:从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
• 节点的高度:从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
• 树的深度:所有节点深度中的最大值
• 树的高度:所有节点高度中的最大值
• 树的深度等于树的高度

有序树、无序树、森林

• 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系
• 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
• 森林:由m(m >= 0)棵互不相交的树组成的集合

二叉树(Binary Tree)

二叉树的特点:

• 每个节点的度最大为2(最多有2棵子树)

• 左子树和右子树是有顺序的

• 即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

• 二叉树是有序树

• 非空二叉树的第i层，最多有$2^{i-1}$个节点(i >= 1)

• 在高度为h的二叉树上，最多有$2^h-1$个节点(h >= 1)

• 对于一棵非空二叉树，如果叶子节点总数为n0,度为2的节点总数为n2,则有n0=n2+1

  a. 假设度为1的节点总数为n1,则二叉树节点总数为n=n0+n1+n2

  b. 二叉树的边数T = n1 + 2*n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1

  c. 可得 n0 = n2 + 1

真二叉树(Proper Binary Tree)

真二叉树:所有节点的度要么为0要么为2

满二叉树(Full Binary Tree)

满二叉树:最后一层节点的度都为0，其余节点度均为2 假设满二叉树高度为h(h>=1),则:

• 第i层节点数量为:$2^{i-1}$

• 叶子节点数量为:$2^{h-1}$

• 总节点数量n

  a. n = $2^h-1$ = $2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{h-1}$

  b. h = $log_2^{n+1}$

• 同样高度的二叉树中，满二叉树叶子节点最多，总结点数量最多

• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树

完全二叉树: 满二叉树:

完全二叉树特点:

• 对节点从上至下，从左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
• 叶子节点只会出现在后两层，最后一层的叶子节点都靠左对齐
• 完全二叉树从根节点到倒数第二层是一棵满二叉树
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树的性质:

• 度为1的节点只有左子树

• 度为1的节点数量为0或者1

• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树高度最小

• 假设完全二叉树高度为h(h >= 1),则

  a.至少有$2^{h-1}$个节点($2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ + ... $2^{h-2}$ + 1)

  b.最多有$2^h-1$个节点($2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ + ... $2^{h-1}$),即为满二叉树

• 总节点数量为n

  a. $2^{h-1}$ <= n < $2^h-1$

  b. h-1 <= $log_2^n$ < h

  c. h = floor($log_2^n$) + 1