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算法简介

$A^*$($A\ star$)算法是一种启发式搜索算法，主要实现对图的路径搜索。$A^*$算法基于$BFS$（广度优先搜索），由于$BFS$具有盲目性，会进行许多偏离最佳路径的搜索，故此$A^*$算法主要目的就是克服$BFS$的盲目性，在进行光度搜索时有目的的选择搜索结点。

算法思想

在学习$A^*$算法之前，首先需要引入评估函数$f(n)=h(n)+g(n)$，它用于评估搜索点$n$的优先级。

其中，$f(n)$是搜索点$n$的优先级，$f(n)$越小优先级越高。$h(n)$表示从起点到点$n$的已花费代价。$g(n)$表示点$n$到终点的估计代价。

回顾$BFS$

$BFS$是广度优先搜索，他通常采用一个队列，每次从队首读入访问一个点，并把他连接的为访问点放入队尾，直到队列为空。$BFS$的模板如下：

void BFS(int k){
    queue<int> Q;
    Q.push(k);//将点k入队
    visit[k]=1;//标记已访问k
    while(!Q.empty()){
        int u=Q.front();Q.pop();//出队
        visit[u]=1;//标记u已访问
        if(u==end){//找到终点
            //得到结果的相关操作;
        }
        for(int i=head[u];i;i=last[i]){//访问u连接的结点
            int v=to[i];//v是u连接的结点编号
            if(!visit[v]){
                Q.push(v);
            }
        }
    }
}

引入$A^*$

$A^*$算法所做的工作就是修改队列的逻辑，因为我们要按优先级访问，所以需要使用优先队列。在$C++$当中，可以直接用$priority\_queue$优先队列，存入顶点可以用$pair<pri,node>$来存取，$pri$表示优先级，$node$表示顶点编号，因为$pair$默认比较逻辑是按照第一个值来比较，所以第一个应该是优先级。

void Astar(int k){
    typedef pair<int,int> pir;
    priority_queue<pir,vector<pir>,greater<pir> > Q;//因为优先队列默认是大根堆，所以要修改一下比较逻辑
    Q.push(make_pair(0,k));//将点k入队,优先级0最高
    visit[k]=1;//标记已访问k
    while(!Q.empty()){
        int u=Q.front().first;Q.pop();//出堆
        visit[u]=1;//标记u已访问
        if(u==end){//找到终点
            //得到结果的相关操作;
        }
        for(int i=head[u];i;i=last[i]){//访问u连接的结点
            int v=to[i];//v是u连接的结点编号
            if(!visit[v]){
                Q.push(make_pair(f(v)+g(v),v));//v和v的评估入堆
            }
        }
    }
}

关于$h(n)$和$g(n)$

一般来说，$h(n)$评估起点到$n$的距离可以通过搜索过程计算出来，$g(n)$到终点的距离可以通过反向$Dijkstra、SPFA$等等单源最短路径算法作为参考值。更一般的，可以使用曼哈顿距离、对角距离、欧氏距离等等来评估。

应用

部分游戏的寻路算法就是用了$A^*$，除此之外，$A^*$还可以用来求解$k$短路问题，当第$k$次搜索找到终点时，即为$k$短路。但在一般情况下，$A^*$只能找到较优解，而不一定是最优解。