LeetCode每日一题：319. 灯泡开关【2021/11/15】

题目链接：319. 灯泡开关 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

难度：Medium

这题很有意思。

对于灯泡 $i$，它的最终状态取决于 $i$ 的因子个数，因子个数为奇数时，最终为开灯状态。所以该题可以转化为：求小于等于 $n$ 的正整数中，因子个数为奇数的的数量。

对于整数 $k$，因子个数为 $n$，因子集合为 $\{F_1...F_{ \frac{ \lfloor n \rfloor }{2} }...F_n\}$，如果因子个数为奇数，则有 $F_{ \frac{ \lfloor n \rfloor }{2} }*F_{ \frac{ \lfloor n \rfloor }{2} } = k$, $F_1*F_n= F_2*F_{n-1}=... = F_{ \frac{ \lfloor n \rfloor }{2} }*F_{ \frac{ \lfloor n \rfloor }{2} } = k$。则 $k$ 一定是一个完全平方数。所以该题可以转化为：求小于等于 $n$ 的完全平方数的个数。

接下来求小于等于 $n$ 的完全平方数的个数。

观察到完全平方数序列 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2...m^2$，其中 $m^2\leq n\leq(m+1)^2$，很容易得出小于等于 $m^2$ 的完全平方数的个数是 $m$ 个，即 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$。

class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        return sqrt(n);
    }
};