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1049.最后一块石头的重量 II

题目描述

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

示例 3：

输入：stones = [1,2]
输出：1

方法：动态规划

解题思路

最后一块石头的重量M可以表示为sum - neg - neg，其中 sum 为所有整数的和，neg 为所有添 - 的整数之和，则neg = (sum - M) / 2

要使得M尽可能小，neg要尽可能大，最大为Math.floor(sum / 2)

定义二维布尔数组dp，dp[i][j]表示能否做到：在数组的前i个数中选取若干元素，和为j

1. i = 0 时，即不选取元素，dp[0][0] = true，dp[0][j] = false (j != 0)

2. i != 0时，对于第i个元素num

   若j < num，则dp[i][j] = dp[i - 1][j]，即不可能选该元素，前i个数能否做到和为j取决于前i-1个数能否做到和为j

   若j >= num，则dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - num]，即前i个数能否做到和为j分为两种情况

   1. 前i-1个数能做到和为j，那么前i个数可以在不选取第i个数做到和为j
   2. 前i-1个数能做到和为j-num，那么前i个数可以在选取第i个时做到和为j

优化

考虑到dp每一行的计算只与上一行有关，所以不必使用二维数组，可以使用滚动数组，去掉dp的第一个维度

内存循环应从j最大值开始倒序遍历，保证转移来的是dp[i - 1][]的元素

代码

/**
 * @param {number[]} stones
 * @return {number}
 */
var lastStoneWeightII = function(stones) {
    const n = stones.length
    let sum = 0
    stones.forEach(item => {
        sum += item
    })
    const neg = Math.floor(sum / 2)
    const dp = new Array(neg + 1).fill(false)
    dp[0] = true
    for (let stone of stones) {
        for (let j = neg; j >= stone; j--) {
                dp[j] = dp[j] || dp[j - stone]
        }
    }
    for (let i = neg; i >= 0; i--) {
        if (dp[i]) {
            return sum - 2 * i
        }
    }
};

算法复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n * sum)
2. 空间复杂度：O(sum)