动手学深度学习4.4 过拟合欠拟合参与11月更文挑战的第14天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战这段代码是理

参与11月更文挑战的第14天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 给真实权重分配空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # `gamma(n)`就是n-1的阶乘即(n-1)!
    
# `labels`的维度: (`n_train` + `n_test`,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

这段代码是理解这篇文章的关键！

首先，我们需要手动生成一个人工数据集。给定 $x$ ，[使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签：]

y = 5 + 1.2x - 3.4\frac{x^2}{2!} + 5.6 \frac{x^3}{3!} + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.1^2)

噪声项 $\epsilon$ 服从均值为0且标准差为0.1的正态分布。

就是说我们生成一个符合 $y = 5 + 1.2x - 3.4\frac{x^2}{2!} + 5.6 \frac{x^3}{3!}$ 的数据集，再给它随机加上高斯噪声。

多解释一句，高斯噪声就是服从高斯分布的随机误差，我之前听龙良曲的课，毫无基础，他说高斯噪声我不知道他在讲什么。

max_degree因为是讨论过拟合欠拟合的问题，这里设置这个为20，表示最大可以用20阶来拟合。
true_w长度为20，但是我们人工数据集是三阶多项式，所以只需给前四个赋值即可。
features随机生成x，是一个长度为n_train + n_test的向量
np.random.shuffle(features)将x打乱顺序
poly_features是对features做乘方，即x的多少阶
之后的for循环是对poly_features除以阶乘。
labels即待输入的特征值，是x和真实的w相乘
最后一句是为其添加随机噪声

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=d2l.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss()
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # bias=False不设置偏置，因为我们已经在多项式特征中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

animator是可视化，忽略带animator的代码即可。

三阶多项式拟合以及欠拟合过拟合的代码和最终结果如下：

# 从多项式特征中选择前4个维度，即 1, x, x^2/2!, x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],labels[:n_train], labels[n_train:])

# 从多项式特征中选择前2个维度，即 1, x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],labels[:n_train], labels[n_train:])

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

《动手学深度学习》系列更多可以看这里：《动手学深度学习》 - LolitaAnn的专栏 - 掘金 (juejin.cn)

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