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相关介绍

强连通分量

在有向图中，如果某一个子图的任意两点都是连通的则该子图是一个强连通分量。

算法简介

$Tarjan$算法有好几种，都是以$Tarjan$命名的，这里讲的$Tarjan$指求强连通分量的$Tarjan$算法，他以深度优先搜索的方式对图进行染色，进而求得强连通分量。

算法思想

在一个顶点数为$n$的图中，$Tarjan$算法需要维护一个顶点栈和几个数组。

1. $stack\ S$表示顶点栈。
2. $dfn[\ ]$数组，$dfn[i]$表示第$i$个顶点的深度搜索次序。
3. $low[\ ]$数组，$low[i]$表示顶点$i$回溯时所能回溯到的最小$dfn$。
4. $visit[\ ]$数组，$visit[i]$表示顶点$i$是否在栈中。
5. $color[\ ]$数组，$color[i]$表示顶点$i$在哪一个强连通分量，相同的强连通分量染色相同。

算法流程

void Tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化dfn=low
	S.push(u);//顶点u入栈
	visit[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=last[i]){//遍历u的所有边
		int v=to[i];//v是以u为起点的边的终点顶点
		if(!dfn[v]){//如果还没有访问过v
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(visit[i]){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		color[u]=++sum;//颜色+1，用相同的颜色对同一个连通分量染色
		visit[u]=0;//标记为未访问
		while(S.top()!=u){
			color[S.top()]=color[u];
			visit[S.top()]=0;//标记为未访问
			S.pop();
		}
	}
}

扩展

$Tarjan$在除了有向图中可以求强连通分量，在无向图中还可以求割点和割边(桥)。

割点：无向图中去掉某一个点及其连接的边会破坏其连通性的点。

割边：去掉无向图中某一条边会破坏连通性的边。

割边连接的点必为割点，但是割点连接的边不一定是割边。

割点

使用$Tarjan$算法求割点，若有边$u\to v$，如果$low[v]>=dfn[u]$则说明$v$无法连接到比$u$更早的点，说明$u$是割点。特别的，根节点无法通过此关系判断是否为割点，根节点需要判定子树大于等于$2$则为割点。

void Tarjan(int u,int fa){
	int child=0;//子树个数
	dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化dfn=low
	for(int i=head[u];i;i=last[i]){//遍历u的所有边
		int v=to[i];//v是以u为起点的边的终点顶点
		if(!dfn[v]){//如果还没有访问过v
			Tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root) cut[u]=1;//记录割点
		}else if(dfn[u]>dfn[v]&&v!=fa){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(u==root&&child>=2) cut[u]=1;
}

割边

判断割边，只需要将上述代码的if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root)改为if(low[v]>dfn[u]&&u!=root)即可求割边数量。