[路飞]_动态规划，学算法的必经之路

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动态规划 Dynamic Programming

四个要点：

1. 递推（递归 + 记忆化 ==>递推，初级使用的方式，熟练后可以直接用递推），递归的最底层有初始值，所以从下往上的方式推上去就可以得到结果，这种方式就是递推
2. *状态的定义：opt[n]，dp[n]，fib[n]
3. *状态转移方程（dp方程）：opt[n] = bestOf(opt[n-1] + opt[n-2], ...)
4. 最优子结构

斐波拉契数列（初级DP）

递推公式

F[n] = F[n-1] + F[n-2]

状态转移方程

F[0] = 0，F[1] = 1
for (let i = 2; i <= n; i++) {
    F[i] = F[i-1] + F[i-2]
}

最大递增子序列

递推公式

dp[i] = Math.max(dp[0], dp[1], ... dp[n-1])

状态转移方程

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < i; j ++) {
        if (nums[j] < nums[i]) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
        }
    }
}

COUNT THE PATHS

递推公式

opt[i, j] = opt[i-1, j] + opt[i, j-1]

状态转移方程

for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; i < n; j++) {
        if (a[i, j] === '空地') {
            opt[i, j] = opt[i-1, j] + opt[i, j-1]
        } else {
            opt[i, j] = 0
        }
    }
}

DP vs 回溯 vs 贪心

• 回溯（递归） —— 重复计算

  没有最佳子结构的时候，回溯就是最优解法，穷举所有的可能

• 贪心 —— 永远局部最优解

  局部最优解就是全局最优解的时候可以使用

• DP —— 记录局部最优子结构

  当回溯存在重复计算的时候，通过缓存的形式把局部最优值记下来，避免重复计算。再通过动态的转移方程，去推导下一个状态的最优值，达到动态规划的效果