红黑树(Red Black Tree)

• 红黑树也是一种自平衡的二叉搜索树
• 也可称为平衡二叉B树 红黑树必须满足以下五条性质:

1. 节点是Red或者Black
2. 根节点是Black
3. 叶子节点(外部节点、空节点)都是Black
4. Red节点的子节点都是Black

• Red节点的Parent都是Black
• 从根节点到叶子节点的所有路径上不可能有2个连续的Red节点

5. 从任意节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的Black节点

B树

• B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
• 一个节点可以存储超过两个元素，可以有超过两个子节点
• 有二叉搜索树的一些性质
• 平衡，每个节点的子树高度一致
• 树的高度较矮

m阶B树的性质(m>=2)

假设一个节点存储的元素个数为x

• 根节点: 1 <= x <= m-1
• 非根节点: ceil(m/2) - 1 <= x <= m-1 (ceil为向上取整) 若有子节点，子节点个数 y = x + 1
• 根节点: 2 <= y <= m
• 非根节点: ceil(m/2) <= y <= m 比如m=5, 3 <= y <= 5, 因此可称为(3,5)树
• 数据库实现一般使用 200 - 300阶 B树

B树与二叉搜索树对比

• B树和二叉搜索树在逻辑上是等价的
• 多代节点合并可得到一个超级节点
• 2代合并的节点，最多拥有4个子节点(至少是4阶B树)
• 3代合并的节点，最多拥有8个子节点(至少是8阶B树)
• n代合并的节点，最多拥有2^n个子节点(至少是2^n阶B树) m阶B树，最多需要log2(m)代合并

B树的搜索

与二叉搜索树的搜索类似:

1. 先在节点内部从小到大开始搜索元素
2. 如果命中，搜索结束
3. 如果未命中，再去对应子节点中搜索元素，重复步骤1

B树的添加

新添加的元素必定是添加到叶子节点 添加前:

添加55:

添加95:

假设这是一棵4阶B树，如果再添加98会导致右下角叶子节点的元素个数超过限制，此种现象称作上溢(overflow)

上溢问题的解决

此处假设是5阶B树

• 上溢节点的元素个数一定为m
• 假设上溢节点最中间的元素位置为k,将k位置元素与父节点合并
• 将[0, k-1]和[k+1, m-1]位置的元素分裂为2个子节点，且这两个分裂的子节点的元素个数必然不会低于最低限制ceil(m/2)-1
• 一次分裂完毕后可能会导致父节点也产生上溢，同样参照此方法即可
• 最极端情况下可能会导致一直分裂到根节点

具体可见下图:

整体添加过程举例如下:

B树的删除

删除叶子节点

假如删除的元素在叶子节点中，直接删除即可 删除前: 删除30:

删除非叶子节点

假如要删除的元素在非叶子节点中，则:

1. 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
2. 再把前驱或者后继元素删掉 非叶子节点的前驱或者后继元素一定在叶子节点中，所以本质也是删除叶子节点的元素 真正删除的元素都是在叶子节点中

这里删除60，使用了60的前驱节点55，也可以使用后继节点70

添加会导致上溢的发生，同样删除也会导致下溢的发生

下溢的解决

• 下溢节点的元素数量必然为ceil(m/2)-2
• 如果下溢节点临近的兄弟节点中元素数量不低于ceil(m/2),可以从中借一个元素
• 将父节点的元素b插入到下溢节点的0位置(最小位置)
• 用兄弟节点的最大元素a替代b 这种操作等价于旋转

• 如果下溢节点临近的兄弟节点中元素数量只有ceil(m/2) - 1
• 将父节点的元素b挪下来与左右子节点进行合并
• 合并后元素个数为ceil(m/2) + ceil(m/2) - 2 不超过 m - 1 这个操作同样可能会导致父节点发生下溢，依然按照此方法解决，此现象可能会向上传播

4阶B树

4阶B树的性质:

• 所有节点所能储存的元素个数x:1 <= x <= 3
• 所有非叶子节点的子节点个数y: 2 <= y <= 4

添加从1添加到22，再从1删除到22过程可参考:www.cs.usfca.edu/~galles/vis…