归并排序

一个大红包
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一、分治思想

  1. 分治思想：分治，顾明思意，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决，小的子问题解决了，大问题也就解决了。
  2. 分治与递归的区别：分治算法一般都用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

二、归并排序

算法原理

先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并到一起，这样整个数组就有序了。这就是归并排序的核心思想。如何用递归实现归并排序呢？写递归代码的技巧就是分写得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。递推公式怎么写？如下

递推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：p >= r不用再继续分解

性能分析

  1. 算法稳定性：
    归并排序稳不稳定关键要看merge()函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp数组，这样 就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。
  2. 时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度
    如何分析递归代码的时间复杂度？
    递归的适用场景是一个问题a可以分解为多个子问题b、c，那求解问题a就可以分解为求解问题b、c。问题b、c解决之后，我们再把b、c的结果合并成a的结果。若定义求解问题a的时间是T(a)，则求解问题b、c的时间分别是T(b)和T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等于将两个子问题b、c的结果合并成问题a的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
T(n) = 2*T(n/2) + n
     = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
     = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
     = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
     ......
     = 2^k * T(n/2^k) + k * n
     ......

当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到k=log2n。将k带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等于O(nlogn)。所以，归并排序的是复杂度时间复杂度就是O(nlogn)。

  1. 空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是O(n)

    为什么？因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过n个数据的大小，所以空间复杂度是O(n)。

php实现

    /**
     * 归并排序
     * @param array $a
     */
    public function mergeSort(array $array)
    {
        $low = 0;
        $n = count($array);
        $this->mergeSortRecursive($array, $low, $n - 1);
    }

    private function mergeSortRecursive(array $array, $low, $high)
    {
        // 递归终止条件
        if ($low >= $high) {
            return [$array[$high]];
        }
        // 取中间位置$mid
        $mid = $low + (($high - $low) >> 1);
        // 递归，合并
        return $this->merge($this->mergeSortRecursive($array, $low, $mid), $this->mergeSortRecursive($array, $mid + 1, $high));
    }

    private function merge(array $leftArr, array $rightArr)
    {
        // 归并排序中最有意思的部分：可以延伸考多个有序数组合并问题
        $newArr = [];
        $leftIndex = $rightIndex = 0;

        $leftCount = count($leftArr);
        $rightCount = count($rightArr);

        while ($leftIndex < $leftCount && $rightIndex < $rightCount) {
            $newArr[] = $leftArr[$leftIndex] <= $rightArr[$rightIndex] ? $leftArr[$leftIndex++] : $rightArr[$rightIndex++];
        }
        // 这里要考虑，如果拼接完成后，数组还有剩余的处理
        $start = $leftIndex;
        $end = $leftCount;
        $corpArr = $leftArr;
        if ($rightIndex < $rightCount) {
            $start = $rightIndex;
            $end = $rightCount;
            $corpArr = $rightArr;
        }
        while ($start < $end) {
            $newArr[] = $corpArr[$start++];
        }
        return $newArr;
    }
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