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518. 零钱兑换 II

题目

难度：中等

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

方法：动态规划

解题思路

完全背包问题

设二维数组dp[i][j]表示前i(i从1开始计数)种硬币可以组成金额j的组合数，对于组成金额j的最后一枚硬币是否使用coin = coins[i - 1]进行讨论

1. 若coin > j，即第i种硬币面值超过总金额j，则不使用该硬币，有dp[i][j] = dp[i - 1][j]

2. 若coin <= j，即第i硬币面值不超过总金额j

   • 若不使用该硬币，即组合数与dp[i - 1][j]相同

   • 若使用该硬币，则组合数：dp[i][j - coin]

     dp[i][j - coin]：因为coin可以使用无限次，所以最后一枚硬币使用coin，前面也可以使用coin，故组合数为前i种硬币组成金额为j - coin的组合数

   所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coin]

初始化，dp[i][0] = 1，即不管使用任何硬币组成面额为0的组合数为1

优化

考虑到dp每一行的计算只与上一行同列以及该行靠前(j - coin)的元素有关，所以不必使用二维数组，可以使用滚动数组，去掉dp的第一个维度

内存循环应从j最小值开始正序遍历，保证转移来的是dp[i - 1][j]不会先被覆盖

代码

/**
 * @param {number} amount
 * @param {number[]} coins
 * @return {number}
 */
var change = function(amount, coins) {
    const dp = new Array(amount + 1).fill(0)
    dp[0] = 1
    for (let coin of coins) {
        for (let j = coin; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coin]
        }
    }
    return dp[amount]
};

另外，不会出现重复的组合是因为，总是先遍历完一种硬币，再去遍历下一种硬币，即硬币的顺序不会被打乱

算法复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n * amount)，n为硬币种类
2. 空间复杂度：O(amount)