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简介

最初的公钥方案RSA是1997年由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman在MIT开发，称为现在最广泛接受的公钥加密方法。RSA是分组加密，对于某个自然数n，它的明文和密文是$0 \sim n - 1$之间的某个整数。 对于明文分组P和密文分组C，RSA的加密和解密形式如下： $C = P^e\bmod n$ $P = C^d\bmod n=(P^e)^d\bmod n=P^{ed}\bmod n$

要求

发送方和接收方都必须知道$n$和$e$的值，并且只有接收方知道$d$的值。RSA的公钥$PK=(e,n)$，私钥$SK=(d,n)$。为了该算法能够满足公钥加密要求，必须满足下列条件：

1. 可以找到$e,d,n$的值，使得对所有的$M<n,M^{ed}=M\bmod n$成立；
2. 对所有满足$M<n$的值，计算$M^e$和$C^d$相对容易；
3. 给定$e$和$n$，不可能推导出$d$。

前两个要求很容易满足，当$e$和$n$取很大的值时，第三个要求也能够满足。

算法

RSA的算法过程具体如下：

1. 选择两个很大的素数$p和q$，计算他们的乘积$n$作为加密和解密的模；
2. 计算$n$的欧拉函数值$\phi (n) = (p - 1)(q - 1)$，表示小于$n$并且与$n$互素的正整数的个数；
3. 选择整数$e,e<n$并且$e$与$\phi(n)$互素，即$gcd(e,\phi(n))=1$；
4. 计算$d$，它是$e$关于模$\phi(n)$的乘法逆元，即$de\bmod \phi(n)=1$，
   则$de=k\phi(n)+1(k\in Z^+)$。

Python实现

已知$e,d,n$，即已知公钥私钥，求加解密的结果

s=input('please input e,d,n:\n')
num=s.split(' ')
e=int(num[0])
d=int(num[1])
n=int(num[2])
print('PK=(%d,%d)\nSK=(%d,%d)\n'%(e,n,d,n))
while True:
    try:
        choice=input('input 1 or 2:\n1.Encode\n2.Decode\n')
        code=int(input('please input your message(integer):\n'))
        if choice=='1':
            print('C =',(code**e)%n)
        else:
            print('P =',(code**d)%n)
    except IOError:
        break

输入输出样例

输入$5,22,771$之后的信息如下：

please input e,d,n:
5 77 221
PK=(5,221)
SK=(77,221)
input 1 or 2:
1.Encode
2.Decode

输入1加密54得到175

1
please input your message(integer):
54
C = 175

输入2解密175得到54

2
please input your message(integer):
175
P = 54

可以看到54加密为175，175解密为54，算法验证正确

破解

存在两种可能攻击RSA的方法：

• 穷举

尝试所有的私钥，所以$e$和$d$的值越大，算法越安全，但是密钥太长会导致计算量太大。

• 因式分解

通过因式分解$n$为两个素质，但是当$p$和$q$很大时，因式分解问题十分困难，目前一般采用1024,2048或4096比特的密钥，如此长度的密钥对于当今所有应用可以认为强度足够。