【学习笔记】基与核的故事 - 2 基函数的应用这是我参与11月更文挑战的第3天根据基的概念讨论基函数和基向量的应用。

这是我参与11月更文挑战的第3天

根据基的概念讨论基函数和基向量的应用。

傅里叶级数

傅里叶级数用正弦函数（sin）和余弦函数（cos）构成的无穷级数来逼近任何周期函数，对于 $[-\pi,\pi]$ 上的正交函数系，正弦函数与余弦函数是正交的，因此可以选做为基函数。

对于周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ ，傅里叶级数通过三角函数和常数项的构成来逼近它， $\mathbb{R}$ 表示实数域，如下所示：

f(x)=a_0+\sum^\infty_{n=1}(a_ncos(\frac{2\pi n}{T}x),b_nsin(\frac{2\pi n}{T}x)),a_0 \in \mathbb{R}

其中：

a_n=\frac{2}{T}\int^{x_0+T}_{x_0} f(x)\cdot cos(\frac{2\pi nx}{T})dx\\ b_n=\frac{2}{T}\int^{x_0+T}_{x_0} f(x)\cdot sin(\frac{2\pi nx}{T})dx

可以理解为 $f(x)$ 可以由基向量 $\{1(a_0),cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\}$ 的组合表示。

傅里叶变换

傅里叶级数的表示用于表达周期信息（固定的基频），而对于非周期信号（基频无穷小）则需要使用傅里叶变换来表示。

通过欧拉公式可以转换傅里叶级数，欧拉公式：

e^{i\theta} =cos\theta + i sin \theta

可以得到：

sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\ cos\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}

将其带入傅里叶级数公式可以得到：

f(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}

其中： $c_n=\frac{1}{T}\int ^{x_0+T}_{x_0}\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}} dx$ 。

傅里叶级数的基

根据上面的推倒可知，对于傅里叶级数，其基函数 $\{h_n\}^\infty_{n=-\infty}$ （n为整数）可以选择为定义在区间 $[0,T]$ 上的函数：

h_n(x)=e^{i2\pi nx/T}

其中， $i$ 为虚数。对于复数域，取内积时后项应取其共轭转置（共轭指矩阵每个元素实部不变虚部取负，转置指矩阵行列互换，如下所示：

因此对 $\{h_n\}^\infty_{n=-\infty}$ 和 $\{h_j\}^\infty_{j=-\infty}$ （ $n \neq j$ ）求内积可得（基向量内积为0）：

<h_n,h_j>=\int ^T_0h_n(x)\bar{h}_j(x)dx=\int^T_0e^{i2\pi nx/T}e^{-i2\pi jx/T}dx=0

基函数的长度为：

|h_n|^2 = <h_n,h_n>=T

傅里叶针对是正弦波（即同样的振幅在无穷大空间里震荡的波），如下图所示：

小波则是一种能量有限，在时域中集中于某点附近的波，如下图所示：

小波变换和傅里叶变换的区别在于基的不同，它将无限的三角函数基替换成了有限长会衰减的小波基，定义 $R$ 空间上的函数 $\psi(x)$ 为：

对于实数对n和k，存在一系列函数：

\psi_{n,k}(x)=2^{n/2}(2^nx-k),x \in R

将 $\psi(x)$ 乘以 $2^n$ 后位移 $2^{-n}k$ ，可以得到：