629. K个逆序对数组 : 一道序列 DP 状态转移优化题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 629. K个逆序对数组 ，难度为 困难。

Tag : 「序列 DP」、「前缀和」

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第 i 个和第 j 个元素，如果满 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod $10^9 + 7$ 的值。

示例 1:

输入: n = 3, k = 0

输出: 1

解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。

示例 2:

输入: n = 3, k = 1

输出: 2

解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。

说明:

•  n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

序列 DP

从 $n$ 和 $k$ 数据范围均为 $10^3$ 可以看出这是一道二维的动态规划题。

定义 $f[i][j]$ 为考虑使用数值 $[1,i]$，凑成逆序对数量恰好为 $j$ 的数组个数。

不失一般性的考虑 $f[i][j]$ 该如何计算，对第 $i$ 个数（即数值为 $i$ 的数）所在位置进行讨论，共有 $i$ 种选择。

假设第 $i$ 个数所在位置为 $k$，由于数值 $i$ 为整个数组的最大值，因此数值 $i$ 与前面所有数均不形成逆序对，与后面的所有数均形成逆序对。因此与数值 $i$ 直接相关的逆向对的数量为 $(i - 1)- k$，由此也得出与 $i$ 不相关的逆序对数量为 $j - (i - 1 - k)$，而与 $i$ 不相关的逆序对数量由 $f[i - 1][x]$ 可得出。

举个 🌰 帮助大家理解：

• 当数值 $i$ 放置在下标为 $0$ 的位置上，那么由数值 $i$ 产生的逆序对数量为 $i - 1$，总的逆序对数量为 $j$，因此由数值范围为 $[1, i - 1]$（与数值 $i$ 不相关）构成的逆序对数量为 $j - (i - 1)$，即 $f[i - 1][j - (i - 1)]$；

• 当数值 $i$ 放置在下标为 $1$ 的位置上，那么由数值 $i$ 产生的逆序对数量为 $(i - 1) - 1$，总的逆序对数量为 $j$，因此由数值范围为 $[1, i - 1]$（与数值 $i$ 不相关）构成的逆序对数量为 $j - (i - 1 - 1)$，即 $f[i - 1][j - (i - 1 - 1)]$；

  ...

• 当数值 $i$ 放置在下标为 $k$ 的位置上，那么由数值 $i$ 产生的逆序对数量为 $(i - 1) - k$，总的逆序对数量为 $j$，因此由数值范围为 $[1, i - 1]$（与数值 $i$ 不相关）构成的逆序对数量为 $j - (i - 1 - k)$，即 $f[i - 1][j - (i - 1 - k)]$。

综上，最终 $f[i][j]$ 转移方程为（$k$ 为数值 $i$ 放置的位置）：

共有 $n * k$ 个状态，每个 $f[i][j]$ 的计算需要枚举数值 $i$ 所在位置并进行累加，总的复杂度为 $O(n^2 *k)$，计算量为 $10^9$，会 TLE。

状态数量不可减少，考虑如何优化单个状态的转移过程。

不难发现 $\sum_{k = 0}^{i - 1}(f[i - 1][j - (i - 1 - k)])$ 部分为上一次转移结果 $f[i - 1][x]$ 的某个前缀，可以使用前缀和数组进行优化，从而将计算单个状态的复杂度从 $O(n)$ 降到 $O(1)$。

一些细节：为处理负数问题，我们可以在取模之前先加一次 mod；另外需要对 $j$ 和 $i$ 的大小进行分情况讨论，防止数值 $i$ 放置的位置“过于靠前”导致组成逆序对的数量超过 $j$。

代码（$P1$ $P2$ 分别为使用 long 和不使用 long）：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        long[][] f = new long[n + 1][k + 1];
        long[][] sum = new long[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1];
                f[i][j] = (f[i][j] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : sum[i][j - 1] + f[i][j];
                sum[i][j] = (sum[i][j] + mod) % mod;
            }
        }
        return (int)f[n][k];
    }
}

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
        int[][] sum = new int[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : (sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : (sum[i][j - 1] + f[i][j]) % mod;
            }
        }
        return f[n][k];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n * k)$
• 空间复杂度：$O(n * k)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.629 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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