「这是我参与11月更文挑战的第11天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

算法简介

$Bellman-Ford$（以下简称$Ford$）算法是一种单源最短路径算法，他由$Richard\ Bellman$和$Lester\ Ford$提出并因此得名，其中$Richard\ Bellman$是动态规划的提出中。$Ford$算法可以用于求特定点到任意点的最短路径，相比于$Dijkstra$算法，$Ford$算法可以求带负权边的图，适用面更广。但是$Ford$复杂度高，达到了$O(VE)$。

假设采取邻接表存储，$dist[i]$表示源点到$i$号顶点的最短距离，$from[k],to[k],val[k]$存储的是第$k$条边的起点、终点和权值。

核心代码

for(int i=1;i<n;i++){//循环n-1次
	for(int j=1;j<=m;j++){//遍历所有的边
		int u=from[j],v=to[j],w=val[j];
		dist[v]=min(dist[v],dist[u]+w);//进行松弛操作
	}
}

我们可以发现$Ford$算法的松弛操作和迪杰斯特拉算法类似，但是$Ford$算法用边做松弛，迪杰斯特拉算法用点做松弛。至于为什么是循环$n-1$次，这是因为两个点之间的最短距离最多经过$n-1$条边，超过这个数量还可以松弛就说明肯定有负环存在。所以$Ford$算法不仅可以求解最短路径，还可以判断图是否有负环。

如果循环$n-1$次之后，仍然可以松弛，那么说明存在负环。

for(int i=1;i<=m;i++){
	int u=from[j],v=to[j],w=val[j];
	if(dist[u]+w<dist[v]){
		return false;//n-1次之后还能松弛说明有负环
	}
}
return true;//否则返回true

优化

提前退出循环

在实际当中，普遍情况是并不需要$n-1$条边就能得到最短路，所以$n-1$次循环实际上可以提前退出，避免过大的循环次数。

优化点在于，如果某一轮没有成功松弛，那么就可以退出循环。

bool Ford(int x){
	memset(dist,INF,sizeof(dist));//初始化x到任意点距离为无穷大
	dist[x]=0;//x到自己距离为0 
	for(int i=1;i<n;i++){//循环n-1次
		bool flag=true;
		for(int j=1;j<=m;j++){//遍历所有的边
			int u=from[j],v=to[j],w=val[j];
			if(dist[u]+w<dist[v]){
				dist[v]=min(dist[v],dist[u]+w);//进行松弛操作
				flag=false;//能够松弛就不用结束 
			}
		}
		if(flag) return true;//不能松弛，提前结束
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=from[i],v=to[i],w=val[i];
		if(dist[u]+w<dist[v]){
			return false;//n-1次之后还能松弛说明有负环
		}
	}
	return true;//计算完成
}

队列优化—$SPFA$算法

• $Ford$算法有许多冗余松弛，我们可以看到$Ford$算法需要遍历每一条边。实际上，只有那些路径变小了的点才可能使得与该点连通的点路径减小。

算法思想

我们需要维护一个队列$Q$，首先只存储起点$x$，记$dist[i]$数组存$x->i$的距离，$visit[i]$表示顶点$i$是否被松弛过。

1. 初始化$dist[]=\infin$，$dist[x]=0$，$visit[1\sim n]=0$，分别表示起点任意点距离无穷大，到自己距离为$0$，所有点未被访问。
2. 将起点编号$x$入队$Q$，$visit[x]$标记为$1$表示已被访问。
3. 从$Q$中取出队头顶点编号$k$，记录$k$未被访问。
4. 松弛所有以$k$为起点的边对应的终点。入队松弛成功且未被访问的顶点编号$v$，并标记为已访问。
5. 让$v$的松弛次数加$1$，如果超过顶点数则有负环，否则重复第$2$步直到队列为空。

初始化

• 因为$SPFA$的初始化有点长，所以这里把初始化剥离出来了。
• 初始化到任意点的距离为$\infin$，到起点距离$0$，所有顶点未被访问，起点被访问，以及所有点松弛$0$次。

void init(int x){
	memset(dist,INF,sizeof(dist));//初始化x到任意点距离为无穷大
	dist[x]=0;//x到自己距离为0 
	memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化未访问 
	visit[x]=1;//初始化自己被访问 
	memset(in,0,sizeof(in));//初始化所有点未被松弛 
	SPFA(x);//调用SPFA
}

$SPFA$

• $SPFA$算法主要以记忆为主，不是特别容易理解，所以直接贴代码加注释来解释了。

bool SPFA(int x){
	queue<int> Q;
	Q.push(x);//入队x 
	while(!Q.empty()){
		int i=Q.front();Q.pop();//出队 
		visit[i]=0;//标记为未访问 
		for(int j=head[i];j;j=last[j]){
			int u=from[j],v=to[j],w=val[j];
			if(dist[u]+w<dist[v]){
				dist[v]=dist[u]+w;//进行松弛操作
				if(!visit[v]){//如果未被访问 
					Q.push(v);//加入队列
					visit[v]=1;//标记为已被访问 
					if(++in[v]>n) return false;//如果松弛超过n次说明有负环 
				}
			}
		}
	}
	return true;//计算完成
}

总结

本文所用算法都是$bool$类型，这样可以扩展到判定负环的问题上，$SPFA$的最坏复杂度和$Ford$一样，都高达$O(VE)$，所以实际上能用$Dijkstra$算法的一般还是采用$Dijkstra$实现，$Ford$与$SPFA$更适用于带负权的图。